《高数上31中值定理》PPT课件

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1、人的思维可以分为：逻辑思维、形象思维和灵感思维。迄今为止，对逻辑思维的研究比较充分；对形象思维的研究取得了一定成果；而对灵感思维的研究几乎是零。1、引理若函数y=f(x)在区间I内的x0处可导且取得最值，则f’(x0)=0证明思路x0处可导f’(x0–)=f’(x0+)f(x0)最大f’(x0)=0证：因为，区间I内f(x0)最大第三章中值定理导数应用§3.1微分中值定理直观上看，就是函数曲线在最高处有水平切线函数在区间内取得最小值的情况，也可以类似证明。2、罗尔定理条件：函数f(x)满足1、在闭区间[a,b]上连续；2、在开区间(a,b)内可导；3、f(a)=f(b)结论：在(

2、a,b)内至少存在一点，使得f’()=0注意：条件缺一不可；证明的关键是：存在，并且是区间的内点；罗尔定理的条件充分而非必要。ab。证明思路M=mf(x)=C(a,b)内任意点可为M≠mM,m不可能都在端点取得，设M由区间内某点取得f(a)=f(b)由引理可得结论仅供参考，不作要求这类问题容易发生逻辑性错误：“由···(定理)，得···(结论)”应该验证：1、满足定理的条件；2、（不依赖定理）可以独立得出结论。3、关于“对函数验证···定理”验证：所以，函数在给定区间上满足罗尔定理的条件例1根据罗尔定理，在区间（1，2）（2，3）内，各至少有一点1，2使f’(1)=

3、0和f’(2)=04、利用罗尔定理讨论某些方程根的情况罗尔定理表明：如果闭区间连续，开区间可导的函数y=f(x)有两个点x1,x2,其函数值相等，则，方程f’(x)=0在x1,x2之间必有至少一个实根。例2不求函数f(x)=(x–1)(x–2)(x–3)的导数，说明方程f’(x)=0有几个实根。解：函数f(x)在整个实数轴上连续、可导，且f(1)=f(2)=f(3)=0,满足罗尔定理的条件，但是，f’(x)=0是二次方程，至多有两个实数根，所以，f’(x)=0有且仅有两个实根x=1和x=2二、拉格朗日中值定理条件：1、函数f(x)在[a,b]上连续；2、函数f(x)在(a,

4、b)内可导。结论：在(a,b)内至少存在一点，使f(b)–f(a)=f’()(b–a)1、拉格朗日中值定理分析：2、拉格朗日中值定理的几何意义abxyO12ABf(b)–f(a)3、拉格朗日中值公式的其它形式注意：函数的微分是增量的近似值，有公式其中，x在区间的端点取值，dx则要很小。且f’(x)不为零。而拉格朗日增量公式则是一个精确公式因此，拉格朗日中值公式又叫做有限增量公式4、拉格朗日定理的重要推论（P94推论）证：另外，容易证明：课本例3证：利用中值定理可以证明某些不等式。证：利用中值定理证明不等式一般可以分两步：1、选择适当的函数和区间，用中值定理得到含的等式，

5、2、放大或缩小含的式子，去掉含的项补充例题：解：三、柯西中值定理条件：结论：BF(a)F()F(b)f(a)f()f(b)XYoAC1、定理2、几何意义：仅供参考，不作要求3、注意：（1）定理中的f’()，F’()是在同一点处的导数值，所以下面的证明是错误的：因为不能保证，两个函数由拉格朗日定理得到的是同一个点.（2）若F(x)=x，则成为柯西定理的特殊情况，与拉格朗日定理的形式相同。所以拉格朗日定理是柯西定理的特例。柯西定理则是拉格朗日定理的推广。（3）柯西定理的一个重要应用就是洛必达法则。仅供参考，不作要求证：引入辅助函数：容易验证：满足罗尔定理的全部条件，且

6、：为区间（a，b）内一点。由罗尔定理，在区间（a，b）内至少有一点，使即：于是：4、定理的证明：b–a≠0仅供参考，不作要求