高数同济31中值定理

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1、引理设函数f(x)在[a,b]上有定义，并且在点x0(a,b)取到最值，f(x)在点x0可导，则f(x0)=0。证:设f(x0)值最大,则证毕费马一、罗尔(Rolle)定理P128几何解释:AB罗尔(Rolle)定理如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少存在一点(a<

2、折返点处,瞬时速度等于零.证明故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则因此若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使则由费马引理得证毕注:定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,零点定理用不上!?!证毕例2.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由零点定理知存在使即方程有小于1的正根x0.设例2.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!证毕证:1)

3、存在性.存在使二、拉格朗日(Lagrange)中值定理P129思考:表示直线AB的斜率.拉格朗日中值定理如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；那么在(a,b)内至少存在一点(a<

4、立.证毕推论证明：设区间I为(a,b)，x1,x2是(a,b)内任意两点，，(在x1,x2之间)由x1,x2的任意性知:f(x)=常数,x∈(a,b).证毕!由拉格朗日中值定理,例3P134-6证证毕例4P132-1证证毕拉格朗日中值定理又称有限增量定理.微分中值定理拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：三、柯西(Cauchy)中值定理几何解释:证明分析要证证明作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个不一定相同错!上面两式相比即得结论.特别地例5证结论可变形为四、

5、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；(1)注意定理成立的条件；(3)利用中值定理证明等式与不等式的步骤.(2)Rolle定理判断根；费马(Fermat,1601？-1665)法国人律师，业余研究数学他是几何学、坐标几何、概率论、微积分、数论等学问的先驱。一生从未发表过数学论文，只在书信和笔记中，纪录了他的数学思想。当n>2时，方程xn+yn=zn又有没有整数解呢？"这是不可能的。我对这个命题有一个美妙的证明，这里空白太小，写不下

6、"(约1637年)。欧拉1770年提出n=3的证明，但其中有一点错误。高斯完成欧拉的证明.费马(Fermat,1601？-1665)费马大定理狄利克雷Dirichlet(1805-1859),德国人1828年，独立地证明了n=5。1832年，解决了n=14的情况。柯西Cauchy(1789-1857)、拉梅Lamé(1795-1870)1847年，两位法国数学家分别表示他们证明了费马大定理。5月24日，德国数学家库麦尔指出拉梅和柯西的方法是行不通的，从而平息了二人的争论。…………费马大定理1995年5月，

7、怀尔斯长一百页的证明，在杂志《数学年鉴》中发表。1997年6月27日，怀尔斯获得价值五万美元的"沃尔夫斯凯尔奖金"。xn+yn=zn,(n>2)无整数解(1637)这是真的(1995)作业P134:5、6、7、8、10、11-（2）、12、14P134习题12证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,例6设f(x)在[a,b]上可微，且ab>0，求证：(a<ξ

8、,a]上用拉格朗日公式,即1o由所要证明的不等式选定一函数f(x)及定义区间:令f(x)=lnx,x∈[b,a].1、B.2、证明：补充1补充2罗尔LagrangeCauchy