《A31微分中值定理》PPT课件

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1、§3.1微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理第三章微分中值定理与导数的应用费马定理设函数f(x)在[a,b]上有定义，并且在点c(a,b)取到最值，f(x)在点c可导，则f(c)=0。证明：不失一般性。设f(x)在点x=c取到最大值，则f(x)f(c)，x(a,b)。从而f(c)=0。一、罗尔(Rolle)定理P126例1点击图片任意处播放暂停物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释:证罗尔定理的三个条件，缺一不可.例如,洛尔定理指出了点的存在性，但不能确定它的位置。又例,不满足条件

2、(3),罗尔定理结论不成立.不满足条件(1);注:使定理可推广在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.例2证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理P127几何解释:分析:弦AB方程为作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.证证法二F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,由R-定理知:拉格朗日中值定理又称有限增量定理.微分中值定理拉格朗

3、日中值公式的有限增量公式形式：推论证明：设x1,x2是(a,b)内任意两点，由L-定理(在x1,x2之间)由x1,x2的任意性知:f(x)=常数,x∈(a,b).证毕!(设区间I为:(a,b))例5证例6证由上式得求证存在使设可导，且在连续，证：因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得设证明对任意有证：不妨设三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西

4、定理的下述证法对吗?两个不一定相同错!上面两式相比即得结论.柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率例证结论可变形为也可以用罗尔定理来证例8设f(x)在[a,b]上可微，且ab>0，求证：(a<ξ

5、的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理思考2、证明解答2o对f(x)在[b,a]上用拉格朗日公式,即证明1o由所要证明的不等式选定一函数f(x)及定义区间:令f(x)=lnx,x∈[b,a].1、B.2、补充