3、值为0,1,2,…,n.且对每一个k,0≤k≤n,事件｛X=k｝即为“在n次试验中事件A恰好发生k次”,根据伯努利概型,有P｛X=k｝=,k=0,1,2,…,n（1）一般地,如果一个随机变量X的概率分布由（1）给出,则称X服从参数为n,p的二项分布,并记作,且记.定义（泊松（poisson）分布）如果一个随机变量X的概率分布为（2）其中为参数,则称X服从参数为的泊松分布,记作.定义(正态分布)7一个连续性随机变量X,如果其密度函数为（3）其中,,为常数,则称X服从参数为和的正态分布,记作.此时称X为正态变量.特别地
4、,若,,则称X服从标准正态分布,其概率密度函数为定义(特征函数)若随机变量X的分布函数为F(x),则称（4）为X的特征函数.如果F（x）有密度f(x),则就是f(x)的Fourier变换2.2相关定理定理特征函数的一个重要定理（唯一性定理）：分布函数由其特征函数唯一确定.证明设A是F(x)的一切连续点的集合,对任意的,由逆转公式有所以,对于一切,的值唯一的由其特征函数所决定.若,利用分布函数的右连续性,选一列单调下降的趋于x的的连续点,则有于是,对于一切的,的值亦唯一的由其特征函数所决定.2.3相关结论结论1二项分
5、布B（n,p）：其概率分布为7其特征函数为结论2泊松分布：设,则其概率分布为其特征函数为结论3正态分布：其密度函数为其特征函数为3主要结论及证明（三大分布之间的关系）3.1二项分布与泊松分布的关系（二项分布的poisson逼近）定理1二项分布X：b(n,p),如果n很大,而P很小,设,n为任意的正整数,,则对于任意给定的一个非负整数k,有.证明由7当固定,故有所以当n很大时,p很小时有下列近似公式3.2二项分布和正态分布之间的关系定理设随机变量,则对于任意x,有由上式可以得出当n充分大时,二项分布可以用正态分布来近
6、似,即二项分布的正态逼近.例和在n充分大时计算非常困难.由于近似服从N（0,1）或等价地近似服从,于是可以近似地用正态分布来计算上述概率,即7只要查一下标准正态分布表就可以得到的相当精确的值.3.3泊松分布与正态分布之间的关系二项分布可以用泊松分布近似,也可以用正态分布近似.所以泊松分布和正态分布在一定条件下也有近似关系,下面说明泊松分布的正态分布.定理设,泊松分布的分布函数与正态分布的分布函数是近似相等的.证明根据特征函数的唯一性定理可以得出分布函数和恒等的充分必要条件是他们的特征函数和恒等.已知正态分布的特征函
7、数是泊松分布的特征函数是对于任意的t,的幂级数展开为,忽略以后的各项,则有,于是根据唯一性定理可知,泊松分布的分布函数与正态分布的分布函数7近似相等.4初步应用例1某大城市有一个繁忙的交通岗,若每天有100000人通过,每人出事故的概率为0.0001,求该天事故的人数X不超过2人的概率.解法一：由题意可以知道,由二项分布可以得解法二：用泊松分布近似二项分布.即将数据代入可以得到解法三：用正态分布的分布函数近似二项分布.即将数据代入可以得到这里直接查标准正态分布的分布函数表求得,其误差为0.00224151,这比用泊
8、松分布产生的误差要大.例2同类型仪器300台,各仪器的工作相互独立,且发生故障的概率为0.01,通常一台仪器的故障可有一个人来排除.问：（1）至少配备多少维修工人,才能保证当仪器发生故障又不能及时排除的概率小于0.01？（2）若一个人包干20台仪器,求仪器发生故障又不能及时排除的概率.解：设300台仪器中在同一时刻发生故障的仪器台数为X,则X~B(300,0
