泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用

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1、泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用柴丽娜指导教师：李劲(河西学院数学与应用数学专业2012级3班1250901301号，甘肃张掖734000)摘要二项分布、Poisson分布与指数分布是概率统计的基础，这3个分布存在密切的关系.木文将通过极限分布的方法讨论二项分布、泊松分布和正态分布三者Z间的关系，进一步揭示它们Z间的内在联系，并给出有关近似计算公式和应用实例.关键字泊松分布；二项分布；正态分布；特征函数中图分类号02111引言许多数学教材中常常只是介绍了二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正

2、态分布等重要的概率分布，给出它们的分布列、密度函数、它们的期望和方并，但是很少讨论出这些分布之间的关系•在学习概率统计等吋，常常认为这些重耍概率分布之间没有什么联系,但是这些分布中间还有很多重要的关系.本文将通过极限分如的方法讨论二项分布、泊松分布和正态分布三者Z间的关系，进一步揭示它们Z间的内在联系，并给出有关近似计算公式和应用实例.2预备知识2.1相关定义定义1山(二项分布)在n重伯努利试验中，每次试验中事件A发生的概率为p(0

3、口对每一个k,0WkWn,事件{X=k}即为“在n次试验中事件A恰好发生k次”，根据伯努利概型，有P{X=k}=C；pk(1一p)"",k=0,l,2,...,n(1)一般地，如果一个随机变量X的概率分布rfl(1)给岀，则称X服从参数为n,p的二项分布,并记作记B{kfp)=Cknpk(1-p^~k.定义2山(泊松(poisson)分布)P{X=k]==0,1,2,…)如果一个随机变量X的概率分布为(2)其中Q〉0为参数，则称X服从参数为兄的泊松分布,记作尤□P⑺.定义3卩】(正态分布)(-00

4、+cc)一个连续性随机变量X,如果其密度函数为©(x)二]—e2杆27T(y其中,>o为常数，则称x服从参数为“和(7>o的正态分布，记作尤□•此吋称x为正态变量.特别地，若/□艸(“,*),“二0,严1,则称x服从标准正态分布艸(0,1),其概率密度函数为]°(X)二.——e2XG(-00,+00)J2兀定义4〔2】(特征函数)若随机变量X的分布函数为F(x),则称(P⑴=E[ZX]=J。严傑(加)=「严dF(兀)(4)为X的特征函数•如果F(x)有密度f(x),则处)就是f(x)的Fourier变换「

5、+8.0(0=]e,Af(x)dxJ-x>2.2相关定理定理1国特征函数的一个重要定理(唯一性定理)：分布函数由其特征函数唯一确定.证明设A是F(x)的一切连续点的集合，对任意的xeA,由逆转公式有F(x)=Inn[F(x)-F(y)]yeA2龙)tyJ-tyeA(p(t)dt所以，对于一切xeA,F(x)的值唯一的由其特征函数X)所决定.若"A,利用分布函数的右连续性，选一列单调下降的趋丁的F(x)的连续点xpx2v..,则有1cte~jty-eiixF(x)=limF(x)=——limlimlim

6、(p

7、(t)dtXn->J+2疗y->-00TtooJ-卩jtx,teAy^A于是，对于一切的X倉A,F(x)的值亦唯一的由其特征函数0(0所决定.2.3相关结论结论1二项分布B(n,p)：其概率分布为P(X=k)=QkPk(1-p)n'k"0,1,2,••刃,0vpv1其特征函数为k=Ok=0二(対+1-刃"结论2泊松分布龙(2)：设X□龙(2),则其概率分布为无R-久P(X=k)=£=0,1,2,・「/1〉0k其特征函数为cojk—/I孤⑴"(严)=工严务a=oK・结论3正态分布其密度函数为]匕一“)20(

8、x)=t——e(-00<^<+00)J2.71(7其特征函数为・yiAt-*加2孤⑴=E(e,,x)=e2=e~A£)=e~AeAe>，=eA(e，，~])幺k3主要结论及证明(三大分布之间的关系)3.1二项分布与泊松分布的关系(二项分布的poisson逼近)定理1二项分布X：b(n,p),如果n很尢而P很小，设2>0,n为任意的正整数，叨,=2,则对于任意给定的一个非负整数k,有卩心(7)证明由Pn=in...(n-k+npVr几丫“1VVkn)小k/i"-k-1)-.O”(1一几)=k'.]2k-

9、1~k1.(1—)(1—)...(I)nnn当/?一>00,£固定，i•(i--)(i(i—□)t1,(1--r—e-(i--rA—innnnn故有hmC航(1-几宀牛、HTOOnk所以当n很大时,p很小时有下列近似公式5k3.2二项分布和正态分布之间的关系定理设随机变量Xn□b(n,p)(0