状态和状态空间模型

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1、状态和状态空间模型状态和状态空间模型系统的状态空间模型是建立在状态和状态空间概念的基础上的,因此,对这些基本概念进行严格的定义和相应的讨论,必须准确掌握和深入理解。状态状态变量状态空间状态空间模型状态空间的基本概念下面将给出动态系统的状态和状态空间的概念,主要讲授内容为：系统的状态和状态变量系统的状态空间1.系统的状态和状态变量动态(亦称动力学)系统的“状态”这个词的字面意思就是指系统过去、现在将来的运动状况。正确理解“状态”的定义与涵义,对掌握状态空间分析方法十分重要。“状态”的定义如下。定义2-1动态系统的状态,是指能够完全描述系统

2、时间域动态行为的一个最小变量组。该变量组的每个变量称为状态变量。该最小变量组中状态变量个数称为系统的阶数。“状态”定义的三要素完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时刻(t=t0)的值和初始时刻后(tt0)的输入,则系统在任何瞬时(tt0)的行为,即系统的状态,就可完全且唯一的确定。动态时域行为。最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分量是相互独立的。减少变量,描述不全。增加则一定存在线性相关的变量,冗余的变量,毫无必要。要掌握喔!若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须由n个变量(即状态变量)所组成,一般记这n个状态变量为x1(t

3、),x2(t),…,xn(t).若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向量,则称这个向量为状态变量向量,简称为状态向量,并可表示如下:图2-1多输入多输出系统示意图状态变量是描述系统内部动态特性行为的变量。它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能直接测量或观测的量；可以是物理的,甚至可以是非物理的,没有实际物理量与之直接相对应的抽象的数学变量。状态空间状态变量与输出变量的关系状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变量。而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合(滤波、优化与控制等)时所关心的系统外在表现的动态特性,并非系统的全部动

4、态特性。因此,状态变量比输出变量更能全面反映系统的内在变化规律。可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态变量的输出空间的投影,一个子集。输出空间空间映射xy2.系统的状态空间若以n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴,就可构成一个n维欧氏空间,并称为n维状态空间,记为Rn.状态向量的端点在状态空间中的位置,代表系统在某一时刻的运动状态。随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状态空间构成一条轨迹,它称为状态轨线。状态轨线如图2-2所示。图2-2二维空间的状态轨线系统的状态空间模型状态空间模型是应用

5、状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。状态空间模型由描述系统的动态特性行为的状态方程和描述系统输出变量与状态变量间的变换关系的输出方程所组成。下面以一个由电容、电感等储能元件组成的二阶RLC电网络系统为例,说明状态空间模型的建立和形式,然后再进行一般的讨论。例某电网络系统的模型如图2-3所示。试建立以电压ui为系统输入,电容器两端的电压uC为输出的状态空间模型。解1.根据系统的内部机理列出各物理量所满足的关系式。对本例,针对RLC网络的回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足

6、的方程图2-3例2-3的RLC电网络系统2.选择状态变量。状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数。对本例x1(t)=iL,x2(t)=uC3.将状态变量代入各物理量所满足的方程,整理得一规范形式的一阶矩阵微分方程组--状态方程。每个状态变量对应一个一阶微分方程,导数项的系数为1,非导数项列写在方程的右边。对本例,经整理可得如下状态方程写成向量与矩阵形式为：4.列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程。对本例其中5.将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间模型总结出状态空间模型的形式为

7、其中x为n维的状态向量;u为r维的输入向量;y为m维的输出向量;A为nn维的系统矩阵;B为nr维的输入矩阵;C为mn维的输出矩阵;D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵,直接转移矩阵)。描述线性系统的主要状态空间模型,切记!状态空间模型的意义,有如下讨论:状态方程描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间关联情况,它主要决定系统的动态特性。输入矩阵B又称为控制矩阵,它表示输入对状态变量变化的影响。输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。直联

8、矩阵D则表示了输入对输出的直接影响,许多系统不存在这种直联关系,即直联矩阵D=0。上述线性定常连续系统的状态空间模型可推广至非线性系统、时变系统。1.非线性时变系统其中f(x,u,t)和g(x,u,t)分别