过程控制基础第2章系统的数学模型

《过程控制基础第2章系统的数学模型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五节传递函数传递函数是描述系统运动规律的一种数学表达式。它是一个复变量函数。按传递函数，可以把工程中所遇到的元件、部件或系统用典型环节表示出来。引用了传递函数的概念之后，可以更直观、更形象地表示一个系统的结构和系统各变量间的数学关系，并使运算可以大为简化。一.传递函数的概念线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件为零时（输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t<0时，输出量及其各阶导数也均为0），输出量y(t)的拉氏变换Y(s)与输入量x(t)的拉氏变换X(s)之比叫做系统的传递函数G(s)。设线性定常系统输入为

2、x(t)，输出为y(t)，描述系统的微分方程的一般形式为:（2-56）式中，n≥m;an,bm均为系统结构参数所决定的定常数。（n，m=0、1、2、3…）如果变量及其各阶导数初值为零，取等式两边拉氏变换后得（2-57）根据传递函数的定义，系统的传递函数G(s)为(2-58)特征方程X(s)=0系统的特征方程，→?特征根。特征方程决定着系统的动态特性。X(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。当s=0时系统的放大系数或增益！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K—系统处于静态时，输出与输入的比值。零点和极点的根，称为传递

3、函数的零点；的根，称为传递函数的极点；！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数！零、极点分布图传递函数的零、极点分布图：将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。零点用“O”表示极点用“×”表示传递函数分母多项式中s的最高幂数代表了系统的阶数，如s的最高幂数为n则该系统为n阶系统。结论传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输入——输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定。传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参

4、数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。注意适用于线性定常系统只适合于单输入单输出系统的描述无法描述系统内部中间变量的变化情况传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数?例2-17试写出具有下述微分方程式的传递函数。（１）（２）解：按（2-58）式，则传递函数为（１）（２）二.典型环节的传递函数设系统有b个实零点;d个实极点;c对复零点;e对复极点;v个零极点。b+2c=mv+d+2e=n把对应于实数零点zi和实数极点pj的

5、因式变换成：式中把对应于共轭复数零点、极点的因式变换成：式中而式中！串联比例环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节二阶振荡环节理想微分环节延迟环节系统传递函数一般形式可以写成：环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用1.比例环节比例环节的微分方程式为（2-59）则传递函数为（2-60）式中k—比例系数这类环节在工程中是很多的，比如齿轮系统中的输出转速与输入转速的关系；杠杆中的输出位移和输入位移的关系

6、；电位计中的输出电压与输入转角的关系；电子放大器中输出信号与输入信号的关系等表2-2常见的比例环节2.积分环节积分环节的微分方程为（2-61）传递函数为（2-62）具有上式传递函数的环节，称为积分环节。积分环节很多，仅举几个例子加以说明。例2-18如图2-12所示的油缸，其输入为流量q,输出为油缸活塞的位移x,试写出其传递函数。图2-12液压积分环节解：活塞的速度为所以位移（2-63）式中A—活塞的面积对式（2-58）取拉氏变换，并整理，则得其传递函数为：（2-64）注意：位移对流量来说是积分环节，而速度对流量来说，则是一个比例

7、环节。因此对一个具体的物理系统而言，究竟是属于那一个环节，要看确定出输入量与输出量后的传递函数而定。例2-19如图2-13的无源网络，输入量为回路电流i,而输出量为uc，试写出其传递函数。图2-13电气积分环节解：电容器充电电流i与电容器两端的电压uc关系为（2-65）对式（2-65）进行拉氏变换得传递函数为（2-66）3.惯性环节（2-67）（2-68）惯性系统的传递函数是式中，y为输出量；x为输入量。对上式进行拉氏变换得：惯性环节的微分方程是式中，T为时间常数。例2-20如图2-14所示的无源网络，当输入电压ui(t)输出电

8、压uo(t),试写出其传递函数。图2-14电气惯性系统ui(t)uo(t)RCi解：按基尔霍夫定律建立回路电压方程式得到：（2-69）（2-70）由（2-70）式得（2-71）将(2-70）、（2-71）代入（2-69）式，且两边取拉氏变换，得到（2-72）式中