方差分析和一般线性模型

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1、试验设计数据的方差分析和一般线性模型吴喜之1试验设计在几乎所有领域都有各种试验。比如如何对不同的土壤、气候等各种条件找出最合适的作物，使得收益最大如何使得工业产品优质、价廉什么环境下，儿童才能在心理上健康成长企业采取的什么主动措施能够增加收益2试验设计模型就是回归模型在水产养殖业中，比如养蟹，因变量是产量，自变量是水温，饲料，疾病等。描述试验设计的模型就是回归模型的一种但试验设计问题本身有很大一部分是如何设计试验，使得人们有可能用最少的资源得到最好的结果。当然，我们不打算详细讨论如何设计试验，而把主要精力放在试验设计数据的方差分析上。3方差分析方差分析（analysis

2、ofvariance，ANOVA）是分析各个自变量对因变量影响的一种方法。这里的自变量就是定性变量的因子及可能出现的称为协变量（covariate）的定量变量。分析结果是由一个方差分析表给出的。4方差分析分解因素贡献的机理原理为：因变量的值随着自变量的不同取值而变化。我们把总变化(差的平方和)按照自变量(因素)进行分解，显示每一个自变量的贡献；最后剩下无法用已知的因素解释的则看成随机误差的贡献。然后用各自变量的贡献和随机误差的贡献进行比较（F检验），以判断该自变量的不同水平是否对因变量的变化有显著贡献。输出就是F-值和检验的一些p-值。下面看一个例子。5单因素方差分析回

3、顾(data12.01)饲料比较数据,n=19头猪,用p=4种饲料喂养一段时间后的重量增加问题:四种饲料是否不同?饲料ABCD133.8151.2193.4225.8125.3149.0185.3224.6143.1162.7182.8220.4128.9143.8188.5212.3135.7153.5198.66饲料例子(继续):饲料(fodder)为自变量(单因子),重量增加(weight)为因变量(一个数量变量)(SPSS计算机数据形式有所不同)饲料ABCD133.8151.2193.4225.8125.3149.0185.3224.6143.1162.7182

4、.8220.4128.9143.8188.5212.3135.7153.5198.6均值A=133.36均值B=152.04均值C=189.72均值D=220.787四种饲料的箱图四种饲料的均值图8假设:检验:H0:m1=…=mp线性模型:9公式:总平方和=组间平方和+组内平方和其中,SST有自由度n-1,SSB有自由度p-1,SSE有自由度n-p,在正态分布的假设下,如果各组增重均值相等(零假设),则有自由度为p-1和n-p的F分布.10(比较一元总体的)ANOVAWEIGHT(重量)由SPSS可以得到方差分析表:SumofSquares(平方和)Df自由度MeanS

5、quare(均方)FSig.BetweenGroups(处理)SSBP-1MSB=SSB/(p-1)F=MSB/MSEP(F>Fa)WithinGroups(误差)SSEn-pMSE=SSE/(n-p)Total(总和)SSTn-1这里n为观测值数目p为水平数,Fa满足P(F>Fa)=a.这是自由度为p-1和n-p的F-分布的概率11F0.05(3,15)面积=0.05F(3,15)分布密度图12ANOVAWEIGHT由SPSS可以得到方差分析表:SumofSquaresDfMeanSquareFSig.BetweenGroups20538.69836846.23315

6、7.467.000WithinGroups652.1591543.477Total21190.85818该表说明各饲料之间有显著不同.13TestofHomogeneityofVariances(Arobusttest)这是SPSS输出之一,明白即可,不用记住LeveneStatisticdf1df2Sig..024315.99514销售数据(sales.sav)研究这个数目的主要目的是看销售额（因变量）是否受到促销方式、售后服务和奖金这三个自变量的影响（头两个是定性变量，亦称为因子，分别有3个和2个水平；而定量变量奖金是协变量）以及怎样的影响。15Excel数据161

7、7多因素方差分析(只考虑主效应,不考虑交互效应及协变量)首先假定自变量受到的仅仅有不同因素的主效应（maineffect）而没有交互效应(interaction)和协变量(covariate)的影响。主效应就是每个自变量对因变量的单独影响，而交互效应是当两个或更多的自变量的某些水平同时出现时除了主效应之外的附加影响(“正面”或者“负面”的影响)。18多因素方差分析(只考虑主效应,不考虑交互效应及协变量)拿我们例子来说，当单独考虑时，假定主动促销比被动促销可以多产生8万元效益，而有售后服务比没有售后服务多产生9万元效益。那么在没有交互作用时