方差分析II-双向交叉无重复

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1、两因素试验资料的方差分析两因素试验按水平组合的方式不同，分为交叉分组和系统分组两类，这里仅以两因素交叉分组资料为例来说明如何进行方差分析。考查两个因素对试验指标的影响情况4.1交叉分组资料的方差分析设试验考察A、B两个因素，A因素分a个水平，B因素分b个水平。所谓交叉分组是指A因素每个水平与B因素的每个水平都要搭配，两者交叉搭配形成ab个水平组合即处理，试验因素A、B在试验中处于平等地位。如果将试验单元分成ab个组，每组随机接受一种处理，因而试验数据也按两因素两方向分组，这种试验数据资料称为两向分组资料，也叫交叉分组资料。这种试验以各处理是

2、无重复观测值还是有重复观测值又分为两种类型。对于A、B两个试验因素的全部ab个水平组合，每个水平组合只有一个观测值（无重复），全试验共有ab个观测值。4.1.1两因素无重复试验资料的方差分析表1两因素无重复观测值的试验数据模式注：A因素有a个水平，B因素有b个水平，共计有ab个水平组合，每一组合观测一次，有ab个观测值（表5-20），xij为A的第i水平与B的第j水平组合观测值。A的第i水平b个观测值之和A的第i水平b个观测值的平均数B的第j水平a个观测值之和B的第j水平b个观测值的平均数ab个观测值的总和ab个观测值的总平均数两因素无重复

3、观测值试验资料的数学模型为：式中，μ为总平均数；αi，βj分别为Ai、Bj的效应；αi=μi-μ，βj=μj-μ，μi、μj分别为Ai、Bj观测值总体平均数，且Σαi=0，Σβj=0；εij为随机误差，相互独立，且服从N(0，σ2)交叉分组两因素无重复观测值的试验，A因素的每个水平有b次重复，B因素的每个水平有a次重复，每个观测值同时受到A、B两因素及随机误差的作用。因此全部ab个观测值的总变异可以分解为A因素水平间变异、B因素水平间变异及试验误差三部分；自由度也相应分解。偏差平方和与自由度的分解如下：矫正数总平方和A因素偏差平方和B因素偏

4、差平方和各项偏差平方和与自由度的计算公式为:误差平方和SSe=SST-SSA-SSB总自由度dfT=ab-1A因素自由度dfA=a-1B因素自由度dfB=b-1误差自由度dfe=dfT-dfA–dfB=(a-1)(b-1)相应均方为【例1】某厂现有化验员3人，担任该厂牛奶酸度（°T）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验，连续10天的检验分析结果见表5-22。试分析3名化验员的化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸度有无差异（新鲜牛奶的酸度不超过20°T）。化验员B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10xi.xi.A111.7110.811

5、2.3912.5610.6413.2613.3412.6711.2712.68121.3312.13A211.7810.712.512.3510.3212.9313.8112.4811.612.65121.1212.11A311.6110.7512.412.4110.7213.113.5812.8811.4612.94121.8512.19x.j35.1032.2637.2937.3231.6839.2940.7338.0334.3338.27364.3x.j11.7010.7512.4312.4410.5613.1013.5812.681

6、1.4412.76表2牛奶酸度测定结果A因素（化验员）有3个水平，即a=3；B因素（天数）有10个水平，即b=10，共有a×b=3×10=30个观测值。1计算各项偏差平方和与自由度2列出方差分析表，进行F检验表3方差分析表变异来源SSdfMSF值显著性化验员间0.028320.01420.550日期间26.759192.9732115.240**误差0.4635180.0258合计27.250929结果表明，3个化验员的化验技术没有显著差异，不同日期牛奶的酸度有极显著差异。注：F0.01(9,18）=3.60两个因素无重复观测值试验只适用于

7、两个因素间无交互作用的情况；若两因素间有交互作用，则每个水平组合中只设一个试验单位(观察单位)的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：(1)在这种情况下，SSe,dfe实际上是A、B两因素交互作用平方和与自由度，所算得的MSe是交互作用均方，主要反映由交互作用引起的变异。(2)这时若仍按前述方法进行方差分析，由于误差均方值大（包含交互作用在内），有可能掩盖试验因素的显著性，从而增大犯Ⅱ型错误的概率。(3)每个水平组合只有一个观测值，无法估计真正的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。