正玄定理和余玄定理的证明方法总结

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1、正弦定理和余弦定理的证明方法总结南部县大坪中学何胜品正弦定理和余弦定理是高中的两个重要定理，但是很多同学都只知道这两个定理及它们的运用，不知道它们是怎么来的，所以我把它们的常用的证明方法及其运用环境整理如下：图一acbABACA在△ABC中，为了研究方便，我们设ÐA、ÐB、ÐC的对边BC、AC、AB边的长分别为a、b、c。（如图一）一、正弦定理：㈠证明方法：（以下分别用4种方法证明）证明方法1：等量法----示高法ADBEC图二cb证明：按照三角形的形状，分以下三种情况I、当△ABC为钝角三角形时，不妨设ÐA>90°，如图二，过点C、点A分别作CD^AB于点D、

2、AE^BC于点E,则由三角函数的定义得AE=csinB,AE=bsinC，所以csinB=bsinC，即sinBb=sinCc，在RtDADC和RtDBDC中，CD=CAsinÐDAC=CAsin(180°-ÐBAC)=bsinA,CD=BCsinB=asinB，所以bsinA=asinB，即sinAa=sinBb，所以sinAa=sinBb=sinCc，即asinA=bsinB=csinC，故在钝角三角形ABC中有asinA=bsinB=csinC。II、当△ABC为锐角三角形时，如图三，过点A图三ABDCcab作AD^BC于点D，则由三角函数的定义得AD=b

3、sinC,AD=csinB，所以bsinC=csinB，即sinBb=sinCc，同理，在△ABC中，sinAa=sinBb，故在锐角三角形ABC中有asinA=bsinB=csinC。图四ACBIII、当△ABC为直角三角形时，设ÐA=90°,如图四，根据正弦函数的定义得，ba=sinB，即a=bsinB,ca=sinC,即a=csinC,所以a=bsinB=csinC,又sinA=1，所以asinA=bsinB=csinC,综上I、II、III，我们得到定理：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csinC。图五j

4、CBAj证明方法2：向量法证明：按照三角形的形状，分以下三种情况I、当△ABC为锐角三角形时，如图五，过A作单位向量j垂直于AC,则j与AB的夹角为90°-A，j与CB的夹角为90°-C，有图五看到，AC+CB=AB.两边同时乘以j，得到j·（AC+BC）=AB·j，即j·AC+j·CB=j·AB。所以

5、j

6、·

7、AC

8、cos90°+

9、j

10、·

11、CB

12、cos（90°-C）=

13、j

14、·

15、AB

16、cos（90°-A）所以asinC=csinA，即asinA=csinC。同理，过点C作与CB垂直的单位向量，可证得bsinB=csinC故当△ABC为锐角三角形时，有asinA=

17、bsinB=csinC。II、当△ABC为钝角三角形时，不妨设ÐA>90°，如图六，A图六CBjj过点A作与AB垂直的单位向量j，则j与AB的夹角为90°，j与AC的夹角为A-90°，j与BC的夹角为90°-B，由图六看到，AB+BC=AC.两边同时乘以j，得到j·（AB+BC）=AC·j，即j·AB+j·BC=j·AC。所以

18、j

19、·

20、AB

21、cos90°+

22、j

23、·

24、BC

25、cos（90°-B）=

26、j

27、·

28、AC

29、cos（A-90°），所以asinB=bsinA,即asinA=bsinB，同理可证asinA=csinC，故当△ABC为钝角三角形时，有asinA=bsi

30、nB=csinC。III、当△ABC为直角三角形时，方法同证法1的III。综上I、II、III，我们得到定理：BACDabc图七ha正弦定理在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csinC。证明方法3：等(面)积法证明：如图七，过点A作AD^BC于点D,而图八两边同时乘以2abc，得sinAa=sinBb=sinCc，即asinA=bsinB=csinC。证明方法4：外接圆法证明：如图八，设点O为△ABC的外接圆的圆心，连接CO并延长交圆O于D，连接BD，则ÐA=ÐD，ÐCBD=90°，所以sinA=sinD=CBCD=a2

31、R,即asinA=2R.同理可证=2R，＝2R，故===2R(R为三角形外接圆半径).㈡作用（即运用环境整理）：1.由以上证明过程，我们可以得到正弦定理的几种变形形式：①a:b:c=sinA:sinB:sinC;②a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC;③sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R（其中R为△ABC外接圆的半径）2.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：①、已知两角和任一一边，求其他两边和一角问题；②、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角问题。一、余弦定理㈠证明方法：（以下分别用5种

32、方法证明）ACBcba图