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时间:2019-07-09
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1、第三课时:不等式的证明一、知识梳理1.重要不等式:如果2.定理:如果a,b是正数,那么3公式的等价变形:ab≤,ab≤()24.≥2(ab>0),当且仅当a=b时取“=”号;5.定理:如果,那么(当且仅当时取“=”)6.推论:如果,那么(当且仅当时取“=”)7.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论比较法之二(作商法)步骤:作商——变形——判断与1的关系——结论8.综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法用综合
2、法证明不等式的逻辑关系是:综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法9分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是:分析法的思维特点是:执果索因分析法的书写格式:要证明命题B为真,只需要证明命题为真,从而有……这只需要证明命题为真,从而又有…………这只需要证明命题A为真而已知A为真,故
3、命题B必为真10三角换元:若0≤x≤1,则可令x=sinq()或x=sin2q()若,则可令x=cosq,y=sinq()若,则可令x=secq,y=tanq()若x≥1,则可令x=secq()若xÎR,则可令x=tanq()11代数换元:“整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法12.放缩法:13.反证法:二、典型例题讲解1.已知a,b都是正数,并且a¹b,求证:a5+b5>a2b3+a3b2分析:依题目特点,作差后重新组项,采用因式分解方法来变形证明:(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=(a5-a3b2)+(b5-
4、a2b3)=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)∵a,b都是正数,∴a+b,a2+ab+b2>0又∵a¹b,∴(a-b)2>0∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0即a5+b5>a2b3+a3b22.设a,bÎR+,求证:证明:(作商)当a=b时,当a>b>0时,当b>a>0时,∴3.已知a+b+c=0,求证:ab+bc+ca≤0.证法一:(综合法)∵a+b+c=0,∴(a+b+c)∧2=0.展开得ab+bc+ca=-,∴ab+bc+ca≤0
5、.证法二:(分析法)要证ab+bc+ca≤0,∵a+b+c=0,故只需证ab+bc+ca≤(a+b+c)∧2,即证a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0,亦即证[(a+b)∧2+(b+c)∧2+(c+a)∧2]≥0.而这是显然的,由于以上相应各步均可逆,∴原不等式成立.4.设a、b、c均为实数,求证:++≥++.证明:∵a、b、c均为实数,∴(+)≥≥,当a=b时等号成立;(+)≥≥,当b=c时等号成立;(+)≥≥.三个不等式相加即得++≥++,当且仅当a=b=c时等号成立.5.若a,b,c,dÎR+,求证:证明:(用放缩法)
6、记m=∵a,b,c,dÎR+∴∴17、a+b8、≤9、a10、+11、b12、,故可先研究f(x)=(x≥0)的单调性.证明:令f(x)=(x≥0),易证f(x)在[0,+∞)上单调递增.13、a+b14、≤15、16、a17、+18、b19、,∴f(20、a+b21、)≤f(22、a23、+24、b25、),即≤=≤.8.已知026、AO27、+28、BO29、+30、CO31、+32、DO33、≥34、AC35、+36、BD37、其中,,,又∴9.若x>0,y>0,x+y=1,则(构造函数法)左边令t=xy,则在上单调递减∴三、同步练习1、下列命题中的真命题是()(A)若a,b,cR,且a>b,则ac2>bc2(B)若a,bR,且ab≠0,则≥2(C)若a>b,c>d>0,则(D)若aR,则a2+3>2a2、设38、a>0且a≠1,A=loga(a3+1),B=loga(a2+1),则A、B的大小关系为()(A)A>B(B)A<B(C)A=B(D)无法确定3、已知实数x,y满足x+y-4=0,则x2+y2的最小值为()(A)4(B)6(C)8(D)104、已知a、b、c都是正数,求证:a
7、a+b
8、≤
9、a
10、+
11、b
12、,故可先研究f(x)=(x≥0)的单调性.证明:令f(x)=(x≥0),易证f(x)在[0,+∞)上单调递增.
13、a+b
14、≤
15、
16、a
17、+
18、b
19、,∴f(
20、a+b
21、)≤f(
22、a
23、+
24、b
25、),即≤=≤.8.已知026、AO27、+28、BO29、+30、CO31、+32、DO33、≥34、AC35、+36、BD37、其中,,,又∴9.若x>0,y>0,x+y=1,则(构造函数法)左边令t=xy,则在上单调递减∴三、同步练习1、下列命题中的真命题是()(A)若a,b,cR,且a>b,则ac2>bc2(B)若a,bR,且ab≠0,则≥2(C)若a>b,c>d>0,则(D)若aR,则a2+3>2a2、设38、a>0且a≠1,A=loga(a3+1),B=loga(a2+1),则A、B的大小关系为()(A)A>B(B)A<B(C)A=B(D)无法确定3、已知实数x,y满足x+y-4=0,则x2+y2的最小值为()(A)4(B)6(C)8(D)104、已知a、b、c都是正数,求证:a
26、AO
27、+
28、BO
29、+
30、CO
31、+
32、DO
33、≥
34、AC
35、+
36、BD
37、其中,,,又∴9.若x>0,y>0,x+y=1,则(构造函数法)左边令t=xy,则在上单调递减∴三、同步练习1、下列命题中的真命题是()(A)若a,b,cR,且a>b,则ac2>bc2(B)若a,bR,且ab≠0,则≥2(C)若a>b,c>d>0,则(D)若aR,则a2+3>2a2、设
38、a>0且a≠1,A=loga(a3+1),B=loga(a2+1),则A、B的大小关系为()(A)A>B(B)A<B(C)A=B(D)无法确定3、已知实数x,y满足x+y-4=0,则x2+y2的最小值为()(A)4(B)6(C)8(D)104、已知a、b、c都是正数,求证:a
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