微积分（上） 课后习题答案解析试卷 习题1.1-数列的极限

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1、《微积分A》习题解答习题1.1(P31)1．回答下列问题（可举例说明）（1）如果在n无限变大过程中，数列y的各项越来越接近A，那么y是否一定nn以A为极限？（2）设在常数A的无论怎样小的ε邻域内密集着数列y的无穷多个点，那么ynn是否以A为极限？（3）设limy=A，那么y中各项的值是否必须大于或小于A，能否等于A?nnn→∞（4）有界数列是否一定有极限？无界数列是否一定无极限？（5）单调数列是否一定有极限？1答：（1）否。例：y=1+，A=0nnn（2）否。例：y=1+(−)1，A=0n（3）y中各项的值不一定必须大于或小于A，能等于A。n⎧11n⎪,n为偶数例：yn=1+(

2、−)，A=1；或yn=⎨n，A=0n⎪⎩,0n为奇数n（4）有界数列不一定有极限，例：y=1+(−)1，y≤2；nn因为如果无界数列有极限，则由定理2得该数列必有界，矛盾！故无界数列一定无极限。（5）否。例：y=nn3n+22．设yn=n+1（1）求y10−3，y100−3的值3×10+213×100+21解：y−3=−3=，y−3=−3=1010010+111100+1101−4（2）求N，使当n>N时，恒有yn−3<103n+21−444解：y−3=−3=<10，得n>10−1，故N=10−1nn+1n+1（3）求N，使当n>N时，恒有yn−3<ε第1章极限与连续第1节数列

3、的极限1/4《微积分A》习题解答3n+211⎡1⎤解：y−3=−3=<ε，得n>−1，故N=−1n⎢⎥n+1n+1ε⎣ε⎦3．用数列极限定义证明下列极限.（1）lim(n+1−n)=0n→∞证明：（1）∀ε>0，欲找N，当n>N时，11n+1−n−0=≤<εn+1+nn⎡1⎤取N=+1⎢2⎥⎣ε⎦⎡111⎤（2）lim⎢++L+⎥=1n→∞⎣1⋅22⋅3(n−)1⋅n⎦证明：∀ε>0，欲找N，当n>N时，111111111++L+−1=1(−)+(−)+L+(−)−1=<ε1⋅22⋅3(n−)1⋅n223n−1nn⎡1⎤取N=⎢⎥+1⎣ε⎦1114.证明数列y=++L+存在极限

4、.n2n1+21+21+211111证明：y=++L++=y+>yn+12nn+1nn+1n1+21+21+21+21+2即y单调递增；n1111又y<++L+=1−<1，即y有界，n2nnn2222由单调有界准则知，该数列存在极限。5．设y=10，y=6+y(n=,2,1L)，试证明：数列{y}存在极限.（该题为961n+1nn年考研试题，5分）证明：（1）证{}y单调递减（归纳法）n因为y=10，y=6+10=4，所以y>y；假设有y>y，下面证y>y：1212k−1kkk+1第1章极限与连续第1节数列的极限2/4《微积分A》习题解答因y=6+y<6+y=y，由数学归纳法知

5、{y}单调递减.k+1kk−1kn（2）证{y}有下界.n由y的表达式知y>0.nn由单调有界准则知，limy存在.nn→∞（3）求limynn→∞设limy=A，则对等式y=6+y两端取极限，得A=6+A，即A=3nn+1nn→∞（A=−2不合题意，舍去），所以limy=3nn→∞116．设a=2，a=(a+()n=,2,1L),证明：lima=1.1n+1nn2an→∞n证明：（1）证{}a有下界.n111因为a=2>1，由均值不等式得a=(a+)≥a⋅=1(n=,3,2L)1nn−1n−12aan−1n−1即a≥1(n=,3,2,1L)n（2）证{a}单调递减n11111

6、由a≥1(n=,3,2,1L)得：a=(a+)≤(a+)≤(a+a)=a，nn+1nnnnn2a212n故{a}单调递减.由单调有界准则知，lima存在nnn→∞（3）求limann→∞1111设lima=A，则对等式a=(a+)两端取极限，得A=(A+)，即nn+1nn→∞2a2AnA=1（A=−1不合题意，舍去），所以lima=1.nn→∞xx1n−17．设x=1，x=1+，x=1+，求limx.12nn1+x1+xn→∞1n−1证明：（1）证{}x单调递增（归纳法）n第1章极限与连续第1节数列的极限3/4《微积分A》习题解答xn−11x=1+=2−n1+x1+xn−1n−

7、113因为x=1，x=2−=，所以x2−=x，由数学归纳法知{x}单调递增.k+1kn1+x1+xkk−1（2）证{x}有上界.n1由x=2−的表达式知x<2.nn1+xn−1由单调有界准则知，limx存在.nn→∞（3）求limxnn→∞11设limx=A，则对等式x=2−两端取极限，得A=2−，即nnn→∞1+x1+An−11+51−51+5A=（A=不合题意，舍去），所以limx=n22n→∞218．设a