微积分（上） 课后习题答案解析试卷 习题1.3-极限的运算方法法则

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1、《微积分A》习题解答习题1.3(P44)求下列极限.23x−11.limx→1x2+2x+422(3limx)−13x−1x→12解：lim==x→1x2+2x+4(limx)2+2limx+47x→1x→122x−7x+32.limx→3x2+4x−2122x−7x+32(x−1)(x−)32(x−)151解：lim=lim=lim==x→3x2+4x−21x→3(x+7)(x−)3x→3(x+)710223x−13．limx→∞x2−2x+3123−3x−1x2解：lim=lim=3x→∞x2−2x

2、+3x→∞231−+2xx2x+14．limx→+∞x+111+x2+1分子分母x2解：limlim=1x→+∞x+1同除xx→+∞11+x34x+x5．limx→05x2+2x324x+x4x+11解：lim=lim=x→05x2+2xx→05x+22x−x6．limx→0+xx−x分子分母x−1解：limlim=−1x→0+x同除xx→0+1第1章极限与连续第3节极限的运算法则1/5《微积分A》习题解答2x+9−37．limx→0x2x2+9−3分子有11解：limlim=x→0x2理化x→0(x2

3、+9+)36x+2−28．limx→2x+7−3x+2−2分子分母(x−2)(x+7+)3(x+7+)363解：limlim=lim==x→2x+7−3都有理化x→2(x−2)(x+2+)2x→2(x+2+)242⎛13⎞9．lim⎜−⎟x→1⎝1−x1−x3⎠⎛13⎞⎛1+x+x2−3⎞解：lim⎜−⎟=lim⎜⎟x→1⎝1−x1−x3⎠x→1⎜1−x3⎟⎝⎠(x−1)(x+)2−(x+)2=lim=lim=−1x→11(−x)(1+x+x2)x→11(+x+x2)22(x+h)−x10．limh→0

4、h22(x+h)−xh2(x+h)解：lim=lim=lim2(x+h)=2xh→0hh→0hh→011．limx(x+1−x)x→+∞分子有x解：limx(x+1−x)limx→+∞理化x→+∞(x+1+x)分子分母11lim=同除xx→+∞12(1++)1xmx−112．lim(m≠n为正整数)x→1xn−1nnn−1n−2n−2n−1解：法1利用公式：a−b=(a−b)(a+ab+L+ab+b)mm−1m−2x−1(x−1)(x+x+L+)1lim=limx→1xn−1x→1(x−1)(xn−1+

5、xn−2+L+)1第1章极限与连续第3节极限的运算法则2/5《微积分A》习题解答m−1m−2(x+x+L+)1m=lim=x→1(xn−1+xn−2+L+)1nmn法2（利用微分中值定理）设f(x)=x，g(x)=x，mm−1mx−1mξx−1mm−n则由柯西中值得=，即=ξ（ξ介于x和1之间）nn−1nx−1nξx−1nmx−1mm−nm故lim=limξ=nx→1x−1ξ→1nnx+x+x13．limx→+∞2x+1111++分子分母3x+x+xxx12解：limlim==x→+∞2x+1同除xx→

6、+∞1222+xx+cosx14．limx→∞x−cosxcosx1+x+cosxx解：lim=lim=1x→∞x−cosxx→∞cosx1−xcosx1cosx(因为lim≤lim=,0由夹逼定理得lim=0)x→∞xx→∞xx→∞xcosx(或因为无穷小乘以有界变量还是无穷小，故lim=0)x→∞x2nx+x+L+x−n15．limx→1x−12n2nx+x+L+x−n(x−)1+(x−)1+L+(x−)1解：lim=limx→1x−1x→1x−12n−1n−2=lim1[+(x+)1+(x+x+)

7、1+L+(x+x+L+1)]x→1n(n+)1=1+2+3+L+n=2第1章极限与连续第3节极限的运算法则3/5《微积分A》习题解答nm1(+mx)−1(+nx)16．lim(m≠n为正整数)x→0x21(+mx)n−1(+nx)m利用二项式解：limx→0x2定理展开222nn222mm1(+nmx+Cnmx+L+mx)−1(+mnx+Cmnx+L+nx)=limx→0x2222nn222mm(Cnmx+L+mx)−(Cmnx+L+nx)=limx→0x22233nn−22233mm−2=lim[(C

8、nm+Cnmx+L+mx)−(Cmn+Cmnx+L+nx)]x→02222n(n−)12m(m−)12mn(n−m)=Cnm−Cmn=m−n=222n+1n+12+317．limn→∞2n+3nn+1⎛2⎞⎜⎟+12n+1+3n+1分子分母31⎝⎠解：limlim==3n→∞2n+3n同除3n+1n→∞22n11⎛⎞⋅⎜⎟+3⎝3⎠331+2+3+L+(n−)118．limn→∞n21+2+3+L+(n−)1(n−)1n21解：lim=li