教师培训课件：数学建模中的风险决策

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1、风险决策的例渔船是否出海？是否应该投资房产业？如何填报高考志愿？共同点：要求在具有不确定因素下作出决策为什么说这是一个骗局（随机变量及数学期望）问题提出：小华在一次旅游途中看到，有人用20枚签（其中10枚标有5分分值，10枚标有10分分值）设赌。让游客从中抽出10枚，以10枚签的分值总和为奖、罚依据。具体奖罚金额见下表：这些奖是不是这么好拿呢？让我们来做一番计算。分值50，10055，9560，65，85，9070，75，80奖罚金额奖100元奖10元不奖不罚罚1元随机变量及其分布:用X表示奖罚金额。X以一定的概率取值，我们称

2、X为随机变量。此处，X的取值范围为-1、0、10、100，我们又称之为离散型随机变量。X取以上4个值的概率：X-1010100P0.821100.177811.0825*10-31.0825*10-5数学期望:如何来计算平均值？设想上表中的第二行不是相应的概率值，而是n次试验相应的频率值。那么在这n次试验中，X的实际平均值为：当试验次数越来越大时，频率将稳定于概率。上式算出的不是n次试验中X的实际平均值，而是指：如果把试验一直进行下去，我们期望能得到的理论上的平均值。数学上称之为数学期望（expectation），记为EX。利

3、用数学期望的概念，可以得出这样的结论：近似地说，所有参加的人平均每人给摊主0.81元。人数越多，这种说法就越精确。他该如何选择（风险决策）数学期望最优决策和填志愿问题提出：小华参加高考前需填报三个志愿。根据其学习成绩及对各专业（学校）的喜好程度得到下表：专业喜好程度第一志愿第二志愿第三志愿(学校)分值录取概率录取概率录取概率A100.200B90.40.10C80.60.50.3D60.90.90.7他该如何选择？客观状况带有随机性的决策称为风险决策。决策准则是：使决策在平均意义下达到最优。即在客观状况带有随机性波动的情况下，

4、追求的是目标均值（数学期望）的最优化。替小华做参谋决策准则是：使喜好程度得分X的数学期望EX最高。学校录取学生是按志愿依次录取。若第3志愿还未被录取，小华将高考落第。所以应先考虑第3志愿。C、D两种选择的喜好程度得分期望值分别为：E3(XC)=0.3*8=2.4，E3(XD)=0.7*6=4.2。因为E3(XD)>E3(XC），第3志愿应选择D。再考虑第2志愿，在B、C、D这3种选择中，喜好程度得分期望值分别为：E2(XB)=0.1*9+0.9*4.2=4.68E2(XC)=0.5*8+0.5*4.2=6.1；E2(XD)=0

5、.9*6+0.1*4.2=5.82。因为E2(XC)>E2(XD)>E2(XB），第2志愿应选择C。最后再考虑第1志愿。喜好程度得分期望值分别为：E1(XA)=0.2*10+0.8*6.1=6.88；E1(XB)=0.4*9+0.6*6.1=7.26；E1(XC)=0.6*8+0.4*6.1=7.24；因为：E1(XB)>E1(XC)>E1(XA),所以第1志愿应选择B。小华第1、第2、第3志愿应分别选择B，C，D。验血问题问题提出：全校1500名同学都参加了学校组织的体检。如果检验阳性率p较低，而需检验的人数又很多。用下面这

6、种方法进行验血是否可以减少化验次数：按k个人一组进行分组,把从k个人抽来的血混合在一起进行检验。如果这混合血液呈阴性反应，就说明k个人的血都呈阴性反应。若呈阳性，则再对这k个人的血分别进行化验。如果这种方法进行验血可以减少化验次数的话，那么k等于几时，可以使检验次数最少？以X表示某人的验血次数。若按常规方法验血，每人验一次，则X=1为常数；若进行分组，则X为随机变量：当此人所在小组的混合血液呈阴性反应时X=1/k；当此人所在小组的混合血液呈阳性反应时X=1+1/k。P{X=1/k}=P{该小组的混合血液呈阴性反应}=P{小组的

7、每一位成员的血液均呈阴性反应}=（1-p）k；P{X=1+1/k}=P{该小组的混合血液呈阳性反应}=P{小组中至少有一位成员的血液呈阳性反应}=1-（1-p）k。X的概率分布为：X1/k1+1/kp（1-p）k1-（1-p）k平均验血次数EX=1/k*（1-p）k+(1+1/k)*(1-（1-p）k)=1-（1-p）k+1/k.当p已知时，我们可以选取k使之最小。例如p=0.1，当k=4时，EX=1-0.9k+1/4=0.594。所需的平均验血次数为n=1500*0.594=891次面包房进货问题问题提出：一家面包房，某种面

8、包每天的需求量为100、150、200、250、300的概率分别为0.2、0.25、0.3、0.15和0.1。每个面包的进货价为2.50元，销售价为4元，若当天不能售完，剩下的只能以每只2元的价格处理。每天该进多少货？（进货量必须是50的倍数）X为随机变量其概率分布为：X10