第七课时并行三维位势多极边界元法

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1、第七章并行多极三维位势边界元法7.1基于FMM的Krylov子空间的广义极小残值法[GMRES(m)]GMRES(m)算法是一种求解大型非对称线性方程组的Krylov子空间投影法，1986年由Y.Saad和M.H.Schltz提出。该法基于Krylov向量的完全正交化，因而在Krylov子空间上只求出一个近似解或者拟最小残值解。由于所需计算量和存储量较少等方面的优势，目前广泛应用于各种工程应用领域。在工程问题的数值解模拟中，无论是边界元法还是有限元法都将形成离散方程矩阵，二者不同之处在于矩阵系数及其性质上。有限元法形成的刚度系数是稀疏矩阵，边

2、界元法形成的影响系数矩阵是稠密矩阵。7.1.1Krylov子空间GMRES(m)算法的基本理论线性方程组的求解方法有很多种。传统边界元法求解线性方程组，一般采用高斯消去法或是由高斯消去法派生的相关方法，解方程所需要的计算次数与方程秩的成比例。广义极小残值算法是在Arnoldi算法的基础上提出的稠密系数矩阵线性方程组的解法，计算次数只与成比例。对于大型线性代数方程组(7-1)取为任意一向量，令，则(7-1)式化为(7-2)式中，。对于固定整数，令左右空间分别为(7-3)在子空间中找到(7-2)式的近似解，使得(7-4)(7-5)式中，是利用Ar

3、noldi过程构造的右空间的正交基矩阵。Arnoldi算法分三步(1)初始化：任取，计算(2)迭代：对于有1)正交化　　　　　　　　　　　　　(7-6)2)标准化　　　　　　　　　　　　(7-7)3)形成　　　　　　　　　　　　(7-8)(3)构造近似解　　　　　　　　　　　　　　　(7-9)7.1.2GMRES算法：此算法归结为求解最小二乘问题(1)初始化：任取，计算(2)迭代：对于，….(直到满足条件)，有1)正交化　　　　　　　　　　　　(7-10)2)标准化　　　　　　　　　　　　(7-11)3)更新　　　　　　　　(7-12)为上H

4、essenberg矩阵，当j=1时第一列省略，并且有　　　　　　　　　　　(7-13)(3)解最小二乘问题　　　　　　　　　　(7-14)获得。(4)构造近似解　　　　　7.1.3GMRES(m)算法此算法是对GMRES算法的改进，避免当时，内存占有量和计算量不断增加，并防止因矩阵各列之间的正交性变差而引起的解在一个很小范围内振荡。(1)初始化：任取，计算(2)迭代：对于有1)正交化　　　　　　　　　　(7-15)2)标准化　　　　　　　　　　　　(7-16)3)更新　　　　　　　　(7-17)为上Hessenberg矩阵，当j=1时第一列省

5、略，并且有　　　　　　　　　　　(7-18)(3)最小二乘问题　　　　　　　　　　(7-19)获得。(4)构造近似解　　　　　(5)计算残余向量的模(6)重启动判断若，转(1)。是事先给定的收敛判据，可取。7.2三维位势问题并行快速多极边界元法7.2.1三维位势快速多极边界元法从Laplace方程出发，在传统边界元法的基础上，将快速多极展开法（FMM）和广义极小残值法（TheGeneralizedMinimalResidualAlgorithm简称GMRES）结合边界积分方程，开发研制三维位势问题的FORTRAN源程序，更新求解位势问题传统边

6、界元法的算法结构及软件，适应微机大规模运算需要。本法的数值计算表明，在获得同等精度的条件下，和有限元法比较，显著减少计算机的内存量。工程中的位势问题，如静电场，温度场，流场，弹性扭转，波传播和噪音等。求解位势问题的方法很多，其中边界元法是一种既方便又高效的工程技术方法，降维，精度高，灵活和快速等特点。但是传统的边界元法对于大规模的问题并不适用，因为边界元法形成的线性矩阵方程组的系数矩阵是非对称型满阵。对于N个自由度的系统，需要的存储量和计算量分别为和，而快速多极算法将边界元法的存储和计算量降低到。7.2.2基本公式设有限体域为，其表面边界为。

7、已知位势表面为，已知位势梯度表面为，=+，则可以得到边界积分方程为(7-20)式中，为源点，为边界上的任意一点；为边界形状函数，式中所用到的基本解为=(7-21)(7-22)式中，是在点处的外法线方向的导数，为观测点（任意一点）和源点之间的距离，为边界的外法矢。位势基本解是的函数。为适合于多极展开法，将梯度表示为(7-23)式中，表示关于的偏导数。7.2.3矩阵方程边界积分方程(7-20)通过离散变成矩阵方程。单元上的坐标，用节点坐标和形函数表示：(7-24)式中，是单元的局部坐标，是单元的节点坐标，是节点的形函数。对于等参单元，模仿上式可得

8、，(7-25)在源点用(7-20)式数值积分，为单元的积分点，为在对应处的Guass数值积分权函数。代入(7-21)~(7-25)式，(7-20)式可改写为(7-2