自然边界元法分析薄体结构边界应力

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1、第2卷第1期54中国科技论文在线SCIENCEPAPERONLINE2007年1月自然边界元法分析薄体结构边界应力112程长征，牛忠荣，杨智勇（1.合肥工业大学土建学院，合肥230009；2.铜陵学院机械系，安徽铜陵244000）摘要：自然边界元法在分析含薄壁结构对象的边界应力时，由于边界源点和对边上的积分单元距离很近，边界积分方程中存在几乎强奇异积分，阻碍了自然边界张量的准确计算，导致分析薄体结构边界应力失效。本文运用分部积分的技巧，给出了自然边界积分方程中几乎强奇异积分的完全解析表达式，再结合常规的位移边界积分方程联合求解边界应力。算例证明，同普通

2、边界元法相比，本文方法可以分析更薄的薄体边界应力。关键词：边界元法；薄体；几乎奇异积分；边界应力中图分类号：O343文献标识码：A文章编号：1673－7180(2007)01－0054－50引言文运用分部积分的技巧，消除了自然边界元法中边界应力分析的需要广泛存在于涂层技术的几乎奇异积分，使自然边界元法能有效分析薄[1][2]、电子制造工艺的晶片键合技术、聚合物基体结构边界应力。[3]复合材料或共混材料熔体成型技术中，是工程1自然边界元法求解边界应力力学分析的一个热点。边界元法由于自身的优势对线弹性平面问题，忽略体力项，常规的位[4]而成为分析边界应力的

3、首要数值方法。移边界积分方程为[5]在基于位移边界积分方程(Boundary**Cij(y)uj(y)=∫∫Uij(x,y)tj(xd)Γ−Tij(x,y)uj(xd)ΓIntegralEquations－BIE)的常规边界元法中，边界ΓΓ应力的求解一般是通过将边界位移切向数值求导y∈Γ(1)[6]后再利用本构关系来间接计算，这就产生了二式中，y为源点，x为场点，i,j=2,1；Cij(y)次近似。若采用在源点处对位移BIE求导得到位为奇性系数，uj、tj分别为边界Γ上的位移和面[7]移导数BIE，可以避免二次近似，但当分析对象*力分量；积分核Uij(

4、x,y)为弹性力学Navier方程为含薄壁结构时，位移导数BIE中存在着超奇异**积分计算的困难[8]。文[9]从位移导数边界积分方的Kelvin解，Tij(x,y)是Uij(x,y)关于坐标xj的程出发，通过适当的组合和分部积分，将边界位梯度场函数的线性组合。将式(1)在y点沿移、面力和位移导数转换为自然边界张量，从而yk(k=)2,1方向求导，得到位移导数积分方程为构造出了自然边界积分方程，后联合位移边界积**uUt()yx=−(,)()dyxΓΓTu(,)()dxyxik,,∫∫ijkjijk,j分方程获取边界应力，自然BIE同位移导数BIE相Γ

5、Γ比奇异性降低了一阶，仅含几乎强奇异积分，得y∈Γ(2)到的边界应力的精度与位移的精度相当。对式(2)的两边分别作用算子δik和置换张量但当分析对象含薄壁结构时，自然边界积分−∈ik，经过逐项的张量运算，并施以分部积分技方程由于强奇异性的障碍，不能准确获取自然边[9]巧，得到自然边界积分方程界张量，从而得不出精确的边界应力，几乎奇异[10]积分问题严重干扰着边界元法的应用研究。本基金项目：教育部博士学科点基金(20050359009)和安徽省自然科学基金(050440503)作者简介：程长征(1979－)，男，安徽太湖人，博士生，合肥工业大学讲师.E-

6、mail:longmarch.826@163.com第2卷第1期2007年1月中国科技论文在线SCIENCEPAPERONLINE55rr,,ns式中P(ξ)为ξ的多项式形式。用常规的ϕδww()y=+(δ()xx∈w())d()Γxijj∫ijjijjΓrrGauss数值积分公式计算式(7)，积分值的误差按y∈Γ(3)接近度减小而增大，这是引起自然边界积分方e其中，程(3)几乎奇异的原因，也造成自然边界元法不能tn∂uτtτ∂un有效分析含薄体结构的边界应力。w1=+,w2=−(4)2G∂s2G∂s对式(7)采用多次的分部积分运算可以得到，是无量纲的

7、边界变量，在边界上皆是连续的，1P(ξ)11z11IP=dξ=+{[g()]z−P′′g()z+P′K()z−∫423221−1ra21ez+2e2e且边界上任一点的wi(i=)2,1是不随坐标系变动112(e4)11123PKK′′′[(+−++(1z)]PKKLzz(+−−−−)02130的常量，文[9]称之为自然边界张量。ϕ为奇性系42433292e(5)111111421数，对光滑边界点ϕ=π。uj(x)和tj(x)(j=n,τ)PKKKLzz()4201+−−−−}ξ=−1+4122431682是边界上的位移和面力，下标n表示边界法向，τe1

8、(6)11111142PKKKLzz(+−−−−)dξ4a2∫−1124201243168表示