张量以及力学应用

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1、张量及其力学应用西安科技大学建工学院贠永峰1矢量1.1矢量表示方法1.2指标符号1.3矢量代数1.4坐标变换1.5梯度、散度与旋度1.1矢量表示方法运动物理中的位移、速度、力都是矢量。最直观的表示法：三维空间中的有向线段（图示法）特点：这种方法不依赖于坐标系的选择。（表示在一张图上的物理矢量，但是有些不同的矢量，事实上是属于不同的矢量空间）分量表示法：先选定一个坐标系，比如通常的正交直线坐标系，即卡氏坐标系，然后确定矢量对于这个坐标系的分量：（1-υ~（υ，υ，υ）xyz1.1）有序数可以看做单行矩阵矢量用基

2、矢与其对应分量表示υ=υi+υj+υk（1-1.2）xyz其中称为分矢量。υi，υj，υkxyzi（1，0，0），j(0,1,0)，k(0,0,1)（1-1.3）是单位矢量，它们组成卡氏系中的一组基矢(称为标架)。1.2指标符号（1.1中的矢量表示方法推广到多维空间存在困难）记法x记为x，y记为3维空间的矢量（速度）x,z记为x123变为υ~（υ，υ，υ）（1-2.1）123一个N维空间的矢量(图示画不出来)用分量表示时为：υ~（υ1，υ2，υ3.....υn）（1-2.2）它可视为一个

3、N维的单行矩阵，且可写为{}（1-1.3）υ=υ（i=1,2,3.....n）i同理，基矢可分别写为或者i,j,ke1，e2，e3ei(i=1,2,3)N维空间的基矢，可写为：e(i=1,2,3.....n)i与(1-1.2)式对应的写法为（1-2.4）υ=υe+υe+υe+......+υe112233nn相应的分矢量为υe，υe，υe.....υe112233nn其中e(0,0,...,1,...,0)i顺序第个ii叫做的下标。υ有些量比矢量更复杂，只用一个下(或上)指

4、标还不够，要采用更ABCDlmGkijijijlkijkl多的指标，如张量就是这种形式的一种量。1.3矢量代数矢量运算1.矢量的加法υ矢量的加(减)法运算在图形υ2表示法中，可以采用三角形法或r1平行四边形法三角形法分量表示法（1-3）υ±w=(υ±w,υ±w,υ±w)xxyyzz用指标记法υ±w=(υ±w,υ±w,υ±w)（1-4）112233用基矢表示υ±w=(υ±w)e+(υ±w)e+(υ±w)e（1-5）111222333根据以上所述几种表示方法容易看见，矢量的加法满足交换律

5、（1-6）υ±w=w±υ2.矢量的标积和叉积，和符号、并矢δeijkij矢量代数中的积可以有几种定义。总之，是从两已知矢量去定义第三量。下定义时当然最好同已知的物理规律相联系。(1)标积和Kronockor符号δij标积从物理学知道，一个力矢量与一个位移矢量可以确定一fs个标量功W=fscosa（1-7）记作，又称点积。f•s用指标符号3Wfs(fsfsfs)∑fs（1-8）112233iii1最后一个等式在符号下有两个同样的指标。∑fsiii求和约定符号可以不写出，凡在一项中有∑

6、一对相同的指标，就认为对这一指标遍历求和。求和所得的结果，不再含有这一指标。另外，又因为求和结果既然不包括所求和的指标，那么这一指标在运算中间写成什么别的指标也不会影响结果。W=fs=fs=fs（1-9）iillkkn这一记法可以推广到N维空间，即代表，也可以推广到用aibi∑abiii=1指标符号表示的其它物理量，如T=ββT=ββT（1-10）ijiljmlmiαjβαβ只要注意将一对求和指标同时替换，如(1-9)式换成，il(1-10)式中换成。换，它们的含意都是相同的，即lαmβnnT=ββT+ββT+

7、ββT+=∑∑ββTiji1j111i1j212i1j313iljmlml=1m=1（相同的指标叫做哑指标，其他指标为自由指标）与(1-9)式对应，当分别用基矢表示时，可写为f、sW=f•s=（fe）（•se）iijj=（fe+fe+fe）•(se+se+se)112233112233=fse•e+fse•e+fse•e111112121313+fse•e+fse•e+fse•e212122222323+fse•e+fse•e+fse•e313132

8、323333=∑fse•eijiji、j=fisjei•ej（1-11）令为相互垂直的单位矢量，由点积的定义知e，e，eei•ej=δij1230当i≠j时（1-12）δ=ij所以有1当i=j时W=fse•e=fsδ=fs=fs+fs+fsijijijijii112233δ称为Kronecker符号。对于N维向量扩大变程为i、j=1，2nij于是N维空间的点积为