张量与连续介质力学基本公式总结

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1、第一章：矢量和张量重要矢量等式：c(ab)(bca)(acb)指标记法：哑指标求和约定自由指标规则协变基底和逆变基底：rjjgggiiiiiigekkx1g2g32g3g13gg12gggggg张量概念ii'i'iggggi'i'iii'i'iii'j'i'j'klijvvvvTTii'i'i..k'l'ijk'l'..klii..klijvvvggTTggggiiijkl度量张量ijiiGgggggggijiivGGv

2、vTGGTT.jkjTTgiik张量的商法则lmijkijkT(i,j,k,l,m)SUT(i,j,k,l,m)T...lm置换符号Aaaa......aii12i31innaei.1.2.3.n1.niii...i123n1iiiiijjj...jaaa......a1231nnaeAe123n.j1.j2.j3.jn1.niii...i123niiirstjjjijkijkijkeerstrstrstrstkkkrstijkjkjkjkist

3、sttsstijkk2ijttijk6ijk置换张量ijkijkεggggggijkijkijkijkijkeg(gg)egg()ggijkijkijkgijkijkababgabg(ab):εε:(ab)ijkijk第二章：二阶张量T重要性质：T.uu.T主不变量i1ijlmTr()TTTTdet()T1.i2lm.i.j32(Tu)(vw+u)((Tv)w+uv)((Tw))uvw()1（Tu)[(Tv

4、)w+u][(Tv)(Tw)+Tu]()[(v(Tw)]uvw()2(Tu)[(Tv)(Tw)]det()Tuvw()标准形1.特征值、特征向量32Tvv()TGv001232.实对称二阶张量标准形i123NNggggggggi1122333.正交张量（了解方法）R(cos()esin())ee(sin()ecos())eeee1211223324.反对称二阶张量的标准形Ωeeee

5、eG21123Ωuωu1ωε:Ωeu32Ωεω5.正则张量极分解TRUVR第三章张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数计算eTsin()T重要定理：1.Hamilton-Cayley定理：32320TTTG01231232.对称各向同性张量函数表示定理：2Hf()NkGkNkN；012TT其中HH;NN；而系数k是N的主不变量的函数。i张量函数的导数1'1.方向导数：TAC(;)lim[(TAhC)TA()]是C的线性函数h0h

6、''2.方向导数与导数之间的关系TAC(;)TA():C'TTijk3.导数TA()(ggg)(ggg)ijkijkAAijk''*'4.张量函数导数的链式法则：HT()GFT(())，则HT()GFFT()()n重要辅助知识3tr(AB)tr()Atr()BijTTtr(AB)ABAB:A:B..jiijktr(ABC)ABCtr(BCA)tr(CAB).j.k.i第四章：曲线坐标系张量分析基矢量的导数igjkgijggiijkkkj

7、kkmmggijij,mij,kkmijHamilton算子ii'ggii'TiiTTgTgiiTiiTTgTgiiTiiTTgTgii张量的协变导数ijijT..klmjiimjijmijmijTTTTTTs..kls..klms..klms..mlks..kmls..kl;s重要性质：1．度量张量的协变导数为零2．置换张量的协变导数为零3．张量分量的缩并与求协变导数次序可交换ij

8、lijlijl4．(AB)(AB)A(B)s..k.ms..k.m..ks.m积分定理4ddaTTTddaTAAdda()TsTTdds()TaSLLSRiemann-Christoffel张量欧氏空间特性：①Riemann曲率张量等于零②张量对曲线坐标的求导