连续介质力学-例题与习题

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1、《连续介质力学》例题和习题第一章矢量和张量分析第一节矢量与张量代数一、矢量代数令,,则有又因为:;;;;;;;;则:习题:1、证明下列恒等式：1）2)2、请判断下列矢量是否线性无关？.其中为单位正交基矢量。3、试判断是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵。二、张量代数例1：令是一个张量，其使得矢量，经其变换后变为，，假定一个矢量，求。解：利用张量的线性性质，有：=例2：假定一个张量将基矢变换成以下形式：那么该张量将变换成什么样的结果？解：由对基矢量的变换张量可知的矩阵表示为：则有：即例3：利用张量的变换定义证明：1）若为一个二阶张量，则为一四

2、阶张量；2）若为一矢量，则对任意坐标系满足的为一矢量。证明：1）因为为一二阶张量，由张量的变换定义有：则有令则有即为一四阶张量。2）由于和分别是矢量和张量，则有由此可得：（*）又因为对于任意坐标系都成立，则有由（*）式可得：等式两边同时乘以可得：又因为，则或所以由于上式对任一张量都成立，则有即这即是矢量的定义所满足的方程变换，因此是一个矢量的分量。习题1、证明：如果和为任意二阶张量和的分量，且对任意坐标系都成立，则为一四阶张量。例4：已知张量的矩阵形式为：，求张量的特征值和特征向量。解：由求特征值和特征向量的特征方程有：由此，可得三个不

3、同的特征值：对，由可得：（为待求的特征向量）利用可解得：则与对应的特征向量为：对于，同理有：同样利用可解得：则与对应的特征向量为：同理，对应的特征向量为：习题：1、令一张量可用矩阵形式表示，则：a)求的主值和主方向；b)求的主不变量；c)如果、、是的主方向，则写出d)针对同样的基矢量，矩阵能否表示同样的张量？2、令和是任意两个张量，试证明：a)是一个张量；b)；c）3、令一张量的矩阵形式为：，则：a)求张量的对称部分和反对称部分；b)求的反对称部分的对偶矢量（或轴矢量）。第二节矢量和张量的分析例1:利用指标定义证明下列等式：1），2），

4、p是整数；3），F为任一标量函数。证明：（1）对于任意矢量，有。则由此也可得：（2）对(3）因为且关于i和j对称，则对于该矢量的第k个分量有（i，j互换）（重新将i变为j，j变为i）(利用其对称性)则例2：证明证明：令为任一二阶张量，则有：其中；因为结合二阶张量的主不变量的定义可得：这表明：由张量的标量函数导数的定义有：（对任一二阶张量）则又因为：则有由的任意性可得：习题1、令和为矢量场，为标量场，证明下列不等式：a）b）c）（）d）2、对于，其中为一常值二阶张量，证明：3、考虑一张量值函数，证明：（其中为一任意二阶张量）第二章运动学第

5、一节物体的运动例1：考虑如下运动：，其中是质点P在t时刻的位置矢量，而是质点P在t=0时刻的位置矢量。请画出初始时刻（t=0）具有如下图所示边长为单位1的立方体形状的物体在t时刻的构型。解：由已知运动可得：，，a）在t=0时刻，质点O位于原点（0,0,0），对该点t=0坐标为：,,由此可得对任意时刻，质点O的坐标保持为：换句话说，该点在整个运动中保持在（0,0,0）点处。同样，对质点A，t=0时刻有：而t时刻为：这也表明了质点A在整个运动中也保持不动。实际上，在OA线段上所有的点都保持不动。b）然而对线段CB上的点，t=0时刻的坐标为：

6、而由给定的运动方程可得t时刻的坐标为：这表明线段CB在水平方向上移动一个距离kt。c）对于线段OC上的点，t=0时刻的坐标为：而t时刻的坐标则为：表示直线OC在t时刻还是一条直线，即如图所示的d）同样，线段AB在t时刻也保持为一条直线，即。这一个运动实际上就是距形平面在面内的简单剪切运动。第二节变形梯度例1、一个连续体变形以后的构形为：，，求其位移场。解：这表示受压缩过程。例2、在直角坐标系下给定一个运动为：，，。求t=0,和时刻的变形梯度。解：因为所以t=0时刻，时刻，例3、如果，，，求a)、变形梯度；b)、右伸长张量；c）、旋转张量

7、；d)、左伸长张量解：（a）（b）因为所以（因为上式一个正定的根）（c）（d）或者例4：给定在t时刻的运动：，，。求如图所示的材料线段：（a）OP，（b）、OQ，（c）、OB的伸长。解：由给定的运动方程可得变形梯度张量为：（对称的定张量）可见给定的变形是均匀的纯伸长变形。其特征向量为、、，而对应的特征值分别为：3、4、1。由此可得：（a）对OP线段，其伸长即为3（b）对OQ线段，其伸长即为4（c）对材料线段OB，有变形后为：则即其伸长为：变形前，线段OB和轴的夹角为，但变形后该夹角变为。例5：对简单的剪切变形：，，。求：1）Lagran

8、ge应变张量；2）线段OB变形后的长度；3）比较和线段OB变形后的长度值关系。解：1）因为所以则由可得：2）由图所示的几何关系可得OB段的长度变形后为，即3)因为，则有因为，则有：可见和有关，当k很小时，有