《联想与猜想》PPT课件

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1、联想一、联想联想是由一件事物想到另一件事物的一种心理活动．它以观察为基础，将所研究的对象或问题，联系已有的知识和经验进行想象的思维活动．数学问题的解决，实质上就是寻求命题的条件与结论之间的逻辑关系，整个解题的思维推理过程就是沟通新信息与原有知识的一个联想过程．(一)联想方式－根据联想所遵循的不同思维规律而产生的各种联想(二)联想方向－根据联想所涉及的数学知识的不同而进行的各种联想(一)一般的联想方式1．相近联想2．相似联想3．类比联想4．关系联想5．正、反双向联想6．纵、横联想7．特殊化、一般化联想8．表里联想9．形数联想10．对立联想相近联想所谓相近联想，

2、是指对数学问题的观察获取信息，了解其形式、结构和数量关系后，激起对过去在时间上、空间上或关系、性质方面很接近的事物所进行的联想．例1设x、y、z∈R+．求证：思路分析从结论中的三个根号看，其结构很接近余弦定理的形式，因而联想到三角形．再从整个结论进一步联想到三角形的性质“两边和大于第三边”．这样沟通了外界信息与头脑中的固有知识间的联系，问题转化为如何构造合适的三角形．如图3-1，由O点引出三条线段，设OA=x，OB=z，OC=y，且两两夹角为120°，连结AB、BC、AC组成的三角形即为所需，从而达到解决问题的目的．2．相似联想相似联想是指从问题的形式、结构

3、和数量关系而回忆起具有相似特点的同类数、式、图或方法的联想方法．思路分析观察问题的条件与结论的形式和结构，可以辨认出它们与椭圆的标准方程相似，于是借助联想把三角条件恒等式的证明转化为解析证法．显然点P(cos2α，sin2α)、Q(cos2β，sin2β)都在易验证P点也在切线上．由切点的唯一性可知点P与Q重合，由此易得所求证等式．注：相似联想除指形状相似的联想之外，更广泛的是指特征相似．因此，在教学中引导学生注意各种数学对象的特征是十分重要的．3．类比联想类比联想是根据两个对象或两类事物的一些属性相同或相似，想到另一些属性也可能相同或相似的联想．在问题解决

4、中，类比联想在于寻找未知问题与已有知识的相同或相似之处，达到对未知问题的推测和理解，实现解题的一种思维方式，是一种更广泛的相似联想．例3如图3-2，AB=BC=CA=AD，AH⊥CD于H，CP⊥BC思路分析设AB=BC=CA=AD=a．因为△ABC为正三角形，联想证△APC∽△BCD．由条件AB=BC=CA=AD看出B、C、D三点到A等距，再联想到圆的定义，可作以A为圆心，AB为半径的辅助圆．=∠CAH问题就得以解决4．关系联想关系联想是指通过感知事物情境与储存在记忆中相关材料的关系，由一事物想到与之有关系的另一事物的联想．对数学问题而言，这种关系常体现在问

5、题的条件与结论的因果关系、概念间的从属关系、数学知识或方法上的紧密相连之中例4判断集合A=｛x｜｜a-b｜＜x＜a＋b，a＞0，b＞0，的关系．思路分析由不等式确定的x值的集合联想到坐标轴上的区间，从的关系．两区间之间只有三种关系：包含、相交、相离，由各种关系的实质联想到比较区间端点的数值大小，自然又联想到求差法，经计算可得答案5．正、反双向联想正、反双向联想是指从问题的条件部分与结论部分的因果关系出发，正、反两个方向进行联想．x、y、z中至少有一个等于1．思路分析由条件出发正向联想有x＋y+z=1，xy+yx+zx=xyz．由结论出发反向联想须证：x-1=

6、0或y-1=0或z-1=0，进而联想到只须证(x-1)(y-1)(z-1)=0，即(xyz-xy-yz-zx)＋(x＋y＋z)-1=0．因此条件与结论取得联系，问题解决6．纵、横联想所谓纵、横联想是指由某问题所属知识体系内想到有关的信息或想到另一知识体系中相关信息的联想．例６已知x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z=a．求证：思路分析本题若从代数角度考虑难于入手．进行横向联想，设法构造一个几何模型，使x2+y2＋z2，xy+yz+zx及xyz都有几何意义，自然表面积为2(xy+yz＋zx)，体积为xyz．由于三棱之和为定值a，则当此长方体为正方体时，对角线及

7、表面积最小，而体积最大，于是问题迎刃而解7．特殊化、一般化联想所谓特殊化、一般化联想是指由一个具有一定研究范围的对象想到较小范围或更一般情况的对象的联想．例７在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多的个数是()．(A)1；(B)2；(C)3；(D)4．思路分析：联想到锥顶面角可以有3个直角的特殊情形，这时至少有3个直角三角形，故不选(A)、(B)．接着考虑能否构造一个四棱锥且其侧面有4个直角三角形，则问题可解决．显然如图3-4成立，故选(D)由绝对值符号联想到绝对值的一个本质属性：绝对值能表示两点间距离．8．表里联想表里联想是指由事物的表面形式想到它的本质属性，

8、由本质属性的内在功能想到相关事物的内在关系的联想．例