《类曲面积分》PPT课件

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1、第五节第二类曲面积分---------向量值函数在定向曲面上的积分一、基本概念二、第二类曲面积分概念的引入三、定义及性质四、计算法五、两类曲面积分之间的联系1一、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧21.曲面的分类:(1)双侧曲面;(2)单侧曲面.典型双侧曲面3莫比乌斯带典型单侧曲面:以后我们总假定所考虑的曲面是双侧的。4规定：定向曲面上任一点处的法向量总是指向曲面取定的一侧.2.决定了侧的曲面称为有向曲面。(定向曲面).注：在定向曲面的范围里，56即有向曲面方向用法向量指向来表示：方向余弦>0为前侧<0为

2、后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧侧的规定7二、概念引入1.引例：设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.分析:若是面积为S的平面,则流量单位法向量:流速为常向量:8对一般的有向曲面,用“分割、求和、取极限”对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则9类似可规定10三、第二类曲面积分的定义及性质则称此极限为函数在有向曲面Σ上对坐标的曲面积分（也称第二类曲面积分）11被积函数积分曲面类似可定义12存在条件:组合形式:物理意义:13若记正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下

3、向量形式14性质:表明，当积分曲面改变为相反侧时，对坐标的曲面积分要变号。曲面可加性15四、计算法（第二类曲面积分----化为二重积分）16定理:设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,则证:∵取上侧,17•若则有•若则有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面取下侧,则注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.18解：一投,二代,三定号19一投,二代,三定号奇偶对称性？20五、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画21令向量形式(A在n上的投影)称为有向曲面元,2223例2.计算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有∴原

4、式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.24原式25直接计算向yoz面投影利用奇偶对称性26例3.设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:27定义:1.两类曲面积分及其联系小结28性质:联系:292.常用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(3)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化30当时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转

5、化公式.31思考题此时的左侧为负侧，而的左侧为正侧.答：32其中Σ是所围成的正方体的表面的Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3先计算由于平面都是母线平行于x轴的柱面,则在其上对坐标y,z的积分为0.解三个坐标面与平面外侧.Σ1练习1：33x=a面在yOz面上的投影为正,而x=0面在yOz面上的投影为负.投影域均为:0≤y≤a,0≤z≤a,故由x,y,z的对等性知,所求曲面积分为3a4.后两个积分值也等于a4.Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3Σ134练习2：其中Σ解法一直接用对坐标的曲面积分计算法.且其投影区域分别为由于Σ取上侧,在第一卦限部分的上侧.面的投影都是正的,35取

6、上侧36法二利用两类曲面积分的联系计算.Σ取上侧,锐角.则法向量n与z轴正向的夹角为3738若分片光滑的闭曲面Σ0其中注补充x的偶函数x的奇函数曲面Σ不封闭也可以.取外侧(内侧仍成立),那末关于yOz平面对称,39练习3：其中Σ:解关于yOz面对称,被积函数关于x为偶函数.下侧.关于zOx面对称,被积函数关于y为偶函数.40原式=41解求而练习4：42求4344是非题是以原点为中心的球面.由对称性知练习5：45思考题解答非因为上半球面下半球面故46