课题学习 最短路径问题

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1、《课题学习　最短路径问题》教案一、教学内容及内容分析：在生产和经营中为了省时省力常希望寻求最短路径，因此最短路径问题在现实生活中是经常遇到的问题。本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”（或“三角形两边之和大于第

2、三边”）的问题。基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。二、学情分析：最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。解答“当点A、B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，

3、与直线l上的点的和最小”为学生搭建“脚手架”。因此，本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小的问题。三、教学目标及目标分析：根据新课标的要求及学生的实际情况，制定如下目标：（1）知识与技能：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。（2）过程与方法：在将实际问题抽象成数学问题的过程中,提高学生分析问题、解决问题的能力。（3）情感与价值观：通过有趣的实际问题提高学生学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性。四、教法于学法分析：为完成教学目标，我采用情景式教学法、启发式教学法、探究实践

4、法，通过设置一系列问题，层层推进，并结合多媒体进行教学.基于本节课是对知识的运用我决定采用学生自主探究、合作交流的学习方式,通过学生观察，独立思考，小组合作交流和展示，师生共同归纳建立模型，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主人.五、教学过程（一）引言、情境引入：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦，有一天，有一位将军专门拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马，可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知

5、识回答了这个问题。这个问题后来被称为“将军饮马问题”。（二）将实际问题转化为数学问题问题一：这是一个实际问题，我们首先把它抽象为数学问题，请同学们用自己的语言说明这个问题的意思。师生活动：学生独立思考后小组交换意见，然后尝试回答，相互补充，最后达成共识，教师根据学生的回答写出问题的板书：如图，已知点A和点B在直线L的同侧，在直线L上找一点C，使AC与BC的和最小。设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”。在此能培养学生用图形语言和符号语言表达数学问题的能力，同时也让学生体会到将实际问题抽象为数学问题这一转化的思想。（三）探

6、究解决问题的方法问题二：由上面的问题我们可以联想到下面的问题：A、B分别是直线L异侧的两点，如何在直线L上找到一点C，使AC与BC的和最小？师生活动：学生独立思考，画图分析并尝试回答，教师补充。问题三：对于第一个问题，如何将点B移到L的另一侧，B′处，满足直线L上的任一点C，都保持CB与CB′的长度相等？问题四：你能利用轴对称的知识找到符合条件的点B′吗？师生活动：学生独立考，尝试画图，然后小组交流，学生代表汇报交流成果，师生共同补充：只要作出点B关于直线L的对称点B′，就可以满足CB=CB′,再利用问题二中的方法，连接AB′,则AB′与直线L的交点即为所求。学生

7、叙述，教师板书并画图，同时学生在练习本上画图。设计意图：通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”将同侧难以解决的问题提转化为异侧容易解决的问题，渗透转化思想。师生共同总结：首先作其中一点关于直线的对称点，然后连接另一点与对称点之间的线段，这条线段与直线的交点即为所求，整个过程利用了“轴对称”和“两点之间、线段最短“的知识。设计意图：让学生养成反思的好习惯，积累解决问题的方法，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。（五）巩固练习（1）如图，一艘旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短

8、路径。师生