《矢量分析》PPT课件(I)

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1、第二章场论§1场§3矢量场的通量及散度§2数量场的方向导数和梯度§4矢量场的环量及旋度§5几种重要的矢量场第二章场论§1场一、概念如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。如果这物理量是数量,就称这个场为数量场;如果是矢量,就称这个场为矢量场。若该物理量与时间无关，则该场称为稳定场(静态场)；若该物理量与时间有关，则该场称为不稳定场(时变场)。第二章场论§1场二、数量场的等值面如果数量场确定了,则场中各点处的场点值就确定

2、了,对于静态场,它是只是空间坐标的函数.例如,在直角坐标系下,如温度场,电位场,高度场等.第二章场论§1场等值面数量场中量值相等的点构成的面.等值面研究的意义:数量场中所发生的物理过程在不同的等值面上是不同的.第二章场论§1场例1求数量场通过点的等值面方程。解:点M的坐标是,则该点的数量场值为.其等值面方程为:或第二章场论§1场三、矢量场的矢量线如果矢量场确定了,则场中各点处的矢量就确定了,对于静态场,它是只是空间坐标的函数.或例如,在直角坐标系下,如力场,速度场等.第二章场论§1场矢量线在曲线上每一点处,曲线都和对应该点的矢量相切.矢量线研究的意义

3、:能够了解矢量场中各点矢量方向以及整个矢量场的分布.如:静电场中的电力线、磁场中的磁力线等等。+IBX第二章场论§1场讨论（在M处与矢量线相切的矢量）矢量线的方程设为矢量线上任意一点，其矢径为则微分与在M处的场矢量共线。因此有：矢量线的微分方程第二章场论§1场例2求矢量场的矢量线方程。解:矢量场满足的微分方程为从而有解之即得矢量方程C1和C2是积分常数。第二章场论§1场例3求矢量场解:矢量场满足的微分方程为通过点的矢量线方程。由由第二章场论§1场所以过点的矢量线方程为:第二章场论§2数量场的方向导数和梯度一、方向导数考虑标量场中两个等值面定义数量函数

4、沿给定方向的变化率为数量场函数在点处沿方向的方向导数.其大小与方向有关20度10度第二章场论§2数量场的方向导数和梯度在直角坐标系中,方向导数有如下计算公式:如果函数在点处可微;为方向的方向余弦,则函数在点处沿方向的方向导数为:其中是在点处的偏导数.第二章场论例4求函数在点处沿方向的方向导数.解:的方向余弦为:则§2数量场的方向导数和梯度第二章场论§2数量场的方向导数和梯度二、梯度当,即方向与方向一致.结论:①矢量的方向就是数量函数变化率最大的方向.②矢量的模正好是这个最大变化率的数值.第二章场论§2数量场的方向导数和梯度定义梯度数量场在M点的梯度是

5、一个矢量大小:最大方向导数方向:最大方向导数所在的方向(即的方向)在直角坐标系里有:引进哈密顿矢量微分算子:第二章场论§2数量场的方向导数和梯度梯度的性质(1)方向导数等于梯度在该方向上的投影.(2)梯度的方向是沿等值面法线的方向,且指向函数增大的一方.20度10度第二章场论§2数量场的方向导数和梯度梯度运算的基本公式第二章场论例5求数量场在点处的梯度及在矢量方向的方向导数.解:①§2数量场的方向导数和梯度②第二章场论例6设有位于坐标原点的点电荷,由电学知道,在其周围空间的任一点处所产生的电位为:§2数量场的方向导数和梯度其中试求电位的梯度.第二章场

6、论§2数量场的方向导数和梯度由于电场强度所以结论:电场中的电场强度等于电位的负梯度.第二章场论§3矢量场的通量及散度在描绘矢量场的特性时,矢量场穿过一个曲面的通量是一个很有用的概念。在矢量分析中,将曲面的一个面元用矢量来表示,其方向取为面元的法线方向,其大小为,即是面元的法线方向单位矢量。(1)开曲面上的面元:右手螺旋法则。(2)封闭曲面上的面元:封闭面的外法线方向。第二章场论§3矢量场的通量及散度如果是一个封闭面,则一、通量可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:定义矢量沿有向曲面的面积分为矢量穿过有向曲面的通量。=0(无源)<0(有负源)>0(

7、有正源)第二章场论§3矢量场的通量及散度例7在点电荷所产生的电场中,任何一点处的电位移矢量为其中是点电荷到点的距离,是从点电荷指向点的单位矢量.设为以点电荷为中心,为半径的球面,求从内穿出的电通量.解第二章场论§3矢量场的通量及散度二、散度如果包围点P的闭合面所围区域以任意方式缩小为点P时，通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场在P点的散度。即矢量的散度是标量,它是通过某点处单位体积的通量(即通量体密度)。它反映在该点的通量源强度。直角坐标系总结第二章场论§3矢量场的通量及散度则：①矢量的散度是一个标量,是空间坐标点的函数.散度的物理意义:②散

8、度代表矢量场的通量源的分布特性.第二章场论§3矢量场的通量及散度在矢量场中,若,称之为有源场,称为(通量)源