矢量分析ppt课件.ppt

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1、场标量场矢量场等值面方向导数梯度矢量线通量散度散度定理环流旋度斯托克斯定理亥姆霍兹定理第0章矢量分析知识脉络:标量:数学上：—实数域内任一代数量a(-,+)物理上：代数量+物理意义；或者说一个只用大小描述的物理量。如电压，电荷，质量，能量等矢量:数学上：一般的三维空间中既有大小又有方向的量物理上：或者说一个既有大小又有方向的物理量。常用黑斜体字母或带箭头的字母如A或表示。场：物理量在时空中的确定分布.标量场：物理量是一个标量，则所确定的场称为标量场，用标量函数表示为如物体的温度分布T(r,t)、电位分布(r,t)等。矢量

2、场：物理量是一个矢量，则所确定的场称为矢量场，用矢量函数表示既具有大小又具有方向的场，如电场静态场：物理量不随时间变化，则所确定的场称为静态场。动态场（或时变场）：物理量随时间变化，则所确定的场称为动态场。0.1.1矢量的表示形式:一个矢量可以用一条有方向的线段来表示,线段的长度表示矢量的模,箭头指向表示矢量的方向.AP矢量的模：表示矢量的大小A矢量的方向；0.1.2矢量的运算（加法/减法）矢量加/减法遵循平行四边形法则,其运算满足:(交换律)(结合律)0.1.3矢量的运算（点积、叉积）①标量与矢量乘积模②矢量与矢量乘积点积（

3、标积）叉积（矢积）点积：（标量）叉积：﹛大小方向：垂直与包含的面和（矢量）右手法则矢量点积服从：（交换律）（分配律）矢量叉积服从：标量三重积矢量三重积（不服从交换律）（分配律）三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。0.2三种常用的正交曲线坐标系在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。1、直角坐标系位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量

4、点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）oxyz0xx=（平面）0zz=（平面）P直角坐标系xyz直角坐标系的长度元、面积元、体积元odzdydx矢量用坐标分量表示zxy直角坐标系中A矢量：B矢量：（圆柱坐标系及球坐标系下相应知识）类似2、圆柱面坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量132（1）（2）（3）3、球面坐标系球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量4、坐标单位矢量之间的关系直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系oqrz单位圆柱坐标

5、系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系qqofxy单位圆直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系f§0.3标量场的梯度等值面的概念：在标量场中，使标量函数取得相同数值的点构成一个空间曲面称为等值面。等值面方程：C为任意给定的常数。等值面的特点：①常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；②若是标量场中的任一点，显然，曲面是通过该点的等值面，因此标量场的等值面充满场所在的整个空间；?例题求二维标量场的等值面由于z不影响u,故在任意z=const的面上场的分布是相同的。(片状分布)取u为某一常量c时c=y2-x

6、是一组抛物线立体抛物柱面③由于标量函数为单一值，一个点只能在一个等值面上，因此标量场的等值面互不相交（两个等值面不能有相同的c值）0.3.2标量场的方向导数方向导数的概念:方向导数的意义：方向导数是描述标量场沿L方向对距离的变化率。方向导数的计算公式是标量场中的一点，从该点出发引一条射线L,M是射线上的动点。到点的距离为（直角坐标系）式中：是L方向的方向余弦。方向导数的特点：0.3.3梯度问题的提出：标量场在什么方向上的变化率最大、其最大的变化率又是多少？(方向导数沿何方向取得最大值？）(grads)通过推导发现，当方向与矢

7、量方向一致时，方向导数的值最大，由此可以得到梯度在三种不同的坐标系下的计算公式：为哈密顿算符，（读作del或Nabla)在直角坐标系中记住!!练习U=2x+y+z求其梯度自证（作业）在电磁场中，通常以表示源点的坐标，以表示场点的坐标，因此上述运算结果在电磁场中非常重要！1.4矢量场的通量散度1.4.1矢量场的矢量线形象地描述矢量场在空间的分布矢量线的概念：矢量线是场空间中的有向曲线，矢量线上任一点的切线方向都与该点的场矢量方向相同，如图所示。特点：矢量场中的每一点都有矢量线通过，矢量线充满矢量场所在的空间。解此微分方程组，即可

8、得到矢量线方程，从而绘制出矢量线。可根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向，又可根据各处矢量线的疏密程度，判别各处的矢量大小及变化趋势。如：电场线求此二维场的力线方程及场图由力线方程有：例题有一二维矢量场:因此求得的矢量线是一组同心圆。面元矢量法向矢量有两个要素：{右手螺旋法则