《zal矢量分析》PPT课件

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1、1.3标量场的梯度场的概念场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域内，除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续的；场的分类1空间某一区域定义一个标量函数，其值随空间坐标的变化而变化，有时还可能随时间变化。则称该区域存在一个标量场。在标量场中，各点的场量是随空间位置变化的标量。一个标量场可以用一个标量函数来表示。例如，在直角坐标下，如温度场，电位场，高度场。1.3.1标量场的等值面标量场2等值面的定义例如：等温面、等位面在研究标量场时，常用等值面形象、直观地描述物理量在空间的分布状况。等值面的特点常数c取

2、一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面族充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。31.方向导数的概念1.3.2方向导数标量场u(x,y,z)的等值面只描述了场量u的分布状况，而研究标量场的另一个重要方面是，研究标量场u(x,y,z)在场中任一点的邻域内沿各个方向的变化规律。为此，引入了标量场的方向导数和梯度的概念。设M0是标量场u(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l。M是l上的动点，到点M0的距离为Δl，如图所示。若当M沿射线趋于M0(即Δl趋于零)时，比值

3、的极限存在，则称此极限为标量场u(M)在点M0处沿l方向的方向导数，即：4由此可知，方向导数是标量场u(M)在点M0处沿l方向对距离的变化率。注：方向导数与点M0和l方向都有关，因此，标量场中，在一个给定点M0处沿不同的方向，其方向导数一般是不同的。52.方向导数的计算公式方向导数的定义与坐标系无关，但其具体的计算公式却与坐标系有关。根据复合函数求导法则，在直角坐标系中：设l方向的方向余弦为cosα、cosβ、cosγ，即：则得到直角坐标系中方向导数的计算公式为：6例题：求数量场在点M(1,1,2)处沿l=ex+

4、2ey+2ez方向的方向导数。解：l方向的方向余弦为：7而：数量场在l方向的方向导数为：在点M处沿l方向的方向导数：81.3.3梯度从标量场的某一点出发有无穷多个方向。一般来说，沿这些不同方向上的变化率的大小(方向导数)是不同的，必然存在一个变化最大的方向。为此，引入梯度的概念。1.梯度的概念标量场的梯度是一个矢量。标量场变化最大的方向为标量场梯度的方向，其大小为最大的变化率或者最大的方向导数。记作gradu，即：2.梯度的计算式梯度的定义与坐标系无关，但梯度的具体表达式与坐标系有关。9在直角坐标系中，变化率最大

5、的方向上的单位矢量表示为最大的变化率（方向导数）表示为令则矢量是在给定点处的一常矢量，与方向l无关。因此上式中，当与的方向一致时，即cos(,)=1时，标量场在该点处的方向导数最大，即沿矢量方向的方向导数最大，此最大值为矢量的模。根据梯度的定义，就是梯度。10在直角坐标系中，梯度的表达式为引入哈密顿算符“▽”，在直角坐标系中表示为哈密顿算符的双重性质：哈密顿算符是矢量哈密顿算符具有微分特性则标量场的梯度可表示为这表明标量场u的梯度可认为是算符▽作用于标量函数u的一种运算。又称为矢性微分算符11在圆柱坐标系中，哈密

6、顿算符“▽”和梯度的表达式为在球坐标系中，哈密顿算符“▽和梯度的表达式为123.梯度的性质（1）标量场u的梯度是一个矢量场，通常称▽u为标量场u所产生的梯度场；（2）标量场u(M)中，在给定点沿任意方向l的方向导数等于梯度在该方向上的投影。（3）标量场梯度的大小表示标量场的最大变化率。（4）标量场u(M)中每一点M处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数u(M)增加的方向。即，梯度就是该等值面的法向矢量。134.梯度的运算法则1415简单描述16简单描述17简单描述18矢量场空间某一区域定义一个矢量函数，其大小

7、和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可能随时间变化。则称该区域存在一个矢量场。如速度场，电场，磁场。一个矢量场可以用一个矢量函数来表示。一个矢量场可以分解为三个分量场。例如，在直角坐标下，1.4矢量场的通量与散度其中的三个分量分别是沿x、y、z方向的分量。19对于矢量场，可用一些有向曲线来形象描述矢量在空间的分布，这些有向曲线称之为矢量线。矢量线的疏密程度代表矢量线的大小。在矢量线上，任一点的切线方向都与该点的场矢量方向相同。在直角坐标系中，矢量场表示为1.4.1矢量场的矢量线矢量线定义矢量线性质20M(x,y,

8、z)是场中的矢量线上的任意一点，其矢径与其微分矢量分别为点M处的矢径微分与矢量线相切，即点M处与共线，//，于是有这就是矢量线的微分方程组。解此方程组即可得到矢量线方程，从而绘制出矢量线。21简单描述【例1.4.1】设点电荷q位于坐标原点，它在空间任一点M(x,y,z)处所产生的电场强度矢量为：式中，q、ε均为常数，=exx+eyy+ezz为M点的位置矢量。求的矢量线方程