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1、§7直纹二次曲面7.1双曲抛物面的直纹性7.2单叶双曲面的直纹性例如:平面、柱面、锥面以及旋转单叶双曲面都是直纹面,因为它们都可由一条直线绕另一条直线旋转而得到.定义:由一族直线构成的曲面称为直纹面,这些直线称为它的直母线.下面我们讨论二次曲面中的直纹面.§7直纹二次曲面直纹曲面模型§7直纹二次曲面直纹曲面模型§7直纹二次曲面(一)椭球面[1]椭球面:[2]点:(二)双曲面[3]单叶双曲面:非空二次曲面有下面这14种类型(五大类):[4]双叶双曲面:§7直纹二次曲面(三)抛物面[5]椭圆抛物面:[6]双曲抛物面:(四)二次锥面[7]二次锥面:(五)二次柱面[8
2、]椭圆柱面:§7直纹二次曲面[9]一条直线:[10]双曲柱面:[11]一对相交平面:[12]抛物柱面:[14]一张平面:[13]一对平行平面:§7直纹二次曲面其中所有二次柱面和二次锥面都是直纹面.椭球面和点都是有界二次曲面,容不下直线,故它们都不是直纹面.双叶双曲面不是直纹面,因为当它由方程[4]给出时,它的图像在平面z=c上方或z=c下方,因此平行于xy面的直线和与xy面相交的直线都不可能全在曲面上.椭圆抛物面也不是直纹面,因为当它由方程[5]给出时,它的图像完全在xy面上方,因此平行于xy面的直线和与xy面相交的直线都不可能全在曲面上.§7直纹二次曲面7
3、.1双曲抛物面的直纹性双曲抛物面上有直线,这是已经知道的.例如xy平面的截线就是一对相交直线.事实上有定理:双曲抛物面是直纹面.双曲抛物面的直纹性证明:设双曲抛物面S的方程为改写为容易看出,对任何实数c,平面与S的交线是直线平面与S的交线是直线7.1双曲抛物面的直纹性于是,得到S上的两族直母线I={lc
4、cR}和I={lc
5、cR},xyz7.1双曲抛物面的直纹性7.1双曲抛物面的直纹性先证:对S上任一点M0(x0,y0,z0),每族直母线中都恰好有一条经过M0.令则M0在平面上,从而M0.而当cc0时,M0不在平面上,从而M0lc,因此,I中经
6、过M0的直线只有一条.类似地,令I中经过M0的直线也只有一条.7.1双曲抛物面的直纹性上面已经证明了:双曲抛物面S上的每个点都在直母线族I中和I中.反过来证明:直母线族I和I中的每个点也都在双曲抛物面S上.则有M1(x1,y1,z1),任取直母线族I中的一条直线以及其上一点①②7.1双曲抛物面的直纹性将①代入②并整理得即M1(x1,y1,z1)在双曲抛物面S上.这说明:直母线族I中的每个点都在S上.类似可证:直母线族I中的每个点也都在S上.综上证明了:双曲抛物面S由一族直线I构成或由一族直线I构成,从而是直纹面.7.1双曲抛物面的直纹性例1在双曲抛物
7、面求平行于平面3x+2y4z+1=0的直母线方程.解:设所求直母线为和7.1双曲抛物面的直纹性即和方向向量为(1,2,0)(c1,2c1,8)=4(4,2,c1),和(1,2,0)(c2,2c2,8)=4(4,2,c2),直母线与已知平面平行,故有(4,2,c1)(3,2,4)=0,和(4,2,c2)(3,2,4)=0,7.1双曲抛物面的直纹性得c1=4,c2=2,因此所求直母线为和7.1双曲抛物面的直纹性双曲抛物面的两族直母线的性质(1)对S上任一点M0(x0,y0,z0),每族直母线中都恰好有一条经过M0.(2)同族的直母线都
8、平行于同一张平面,同族的两条不同直母线一定异面.(3)异族的直母线一定相交.(4)I和I无公共直母线.(5)S上的所有直母线都在I或I中.7.1双曲抛物面的直纹性证明:(1)已在定理的证明中证过.(2)前半部分显然:I中的直母线都平行于平面I中的直母线都平行于平面后半部分证明:设c1c2,7.1双曲抛物面的直纹性则其方向向量可分别取为因此直线和不平行,从而异面.7.1双曲抛物面的直纹性(3)任取两数c1,c2,则其方向向量可分别取为7.1双曲抛物面的直纹性显然u1与u2不平行,从而l1与l2不平行;再在l1和l2分别取点因为(M1M2,u1,u
9、2)=0.所以l1与l2共面,从而必定相交.7.1双曲抛物面的直纹性(4)由(3)即知.(5)设l是S的直母线,则它不会平行于xz面和yz面(因为平行于xz面和yz面的截线都是抛物线).因此可假设它在xy面上的投影方程为y=tx+r,t0.于是l有一般方程7.1双曲抛物面的直纹性从而l又有一般方程其中第一个方程的图像是平行于y轴的柱面.此柱面与平面的交线是直线它本身是平面,故它的左边是一次式,即有
10、t
11、=b/a.于是l方程为是I或I中的直母线.7.1双曲抛物面的直纹性概括起来:双曲抛物面恰有两族直母线cR,同族的直母线都平行于同一张平面;异族的直母
12、线一定相交.有如下特征性质:方向向量分
