解析几何之直纹面

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1、解析几何之直纹面在我们学习解析几何的过程中，其中二次曲面一共17种，在这17种的二次曲面中有一部分曲线有一个共同的特征，那就是他们都是由直线组成的，我们也把这样的曲面称为直纹面。下面介绍一下直纹面。定义：一曲面S称为直纹面，如果存在一族直线使得这一族中的每一条直线全在S上；并且S上的每一个点都在这一族的某条直线上。这样一族直线称为S的一族直母线。简单的说：由一族直线构成的曲面叫直纹面，其中的直线叫直纹面的母线。种类：在二次曲面中，很显然二次柱面与二次锥面为直纹面，另外通过学习我们知道单叶双曲面与双曲抛物面也是直纹面（下面会证明），其他的

2、二次曲面就不是直纹面了。证明：、单叶双曲面是直纹面证：单叶双曲面方程为：设:单叶双曲面满足方程（1）满足方程（2）在直线族（2）的某条直线上，所以单叶双曲面（1）由直线族（2）构成。同上：可知单叶双曲面的另一直线族为：有：单叶双曲面满足方程（1）满足方程（3）在直线族（3）的某条直线上，所以单叶双曲面（1）由直线族（3）构成。综上我们可知单叶双曲面为直纹面。、双曲抛物面是直纹面证：双曲抛物面的方程为：设：双曲抛物面满足方程（4）满足方程（5）在直线族（5）的某条直线上，所以双曲抛物面（4）由直线族（5）构成。同上：可知双曲抛物面的另一直

3、线族为：设：双曲抛物面满足方程（4）满足方程（6）在直线族（6）的某条直线上，所以双曲抛物面（4）由直线族（6）构成。综上我们可知双曲抛物面为直纹面。性质：上述两类直纹面，通过证明我们可以知道他们的一些性质：直纹面（单叶双曲面、双曲抛物面）都由两族直母线构成且两族直母线相交；对于他们上的任意一点M，两族直母线中各有一条母线通过该点；属于同族的两条直母线都是异面的。应用：单叶双曲面：电厂或工厂里的冷却塔常用的外形之一是旋转单叶双曲面，它的优点是对流快,散热效能好。由于旋转单叶双曲面为直纹面，因此在设计、建造钢筋混凝土结构冷却塔时，根据单叶

4、双曲面有且仅有两组母线这一性质,可把编织钢筋网的钢筋取为直材，并配以围圆,两者的疏密程度均可据强度要求而确定，如此施工，可收到建筑物外形准确，省时，省力，操作简便等效果。并有较好的力学性。双曲抛物面：由于其独特的力学结构特征与几何特性也广泛的应用在建筑行业中，不少建筑物如礼堂、站台等的屋面，采用双曲抛物面的形式，广州星海音乐厅的屋顶就采用了双曲抛物面的形式，浙江省体育馆采用了马鞍面的屋顶。另外在水利工程中也有应用。它不仅有好的特性，还有助于排水，有很好的观赏性。