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1、1.3.2函数的极值与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<01.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数,如果在这个区间内f/(x)>0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f/(x)<0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.一、知识回顾:如果在某个区间内恒有,则为常数.2.求函数单调性的一般步骤①求函数的定义域;②求函数的导数f/(x);③解不等式f/(x)>0得f(x)的单调递增区间;解不等式f/(x)<0得f(x)的单调递减区间.问题:如图表示高台
2、跳水运动员的高度随时间变化的函数的图象单调递增单调递减归纳:函数在点处,在的附近,当时,函数h(t)单调递增,;当时,函数h(t)单调递减,。探究(3)在点附近,的导数的符号有什么规律?(1)函数在点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?(2)函数在点的导数值是多少?(图一)问题:探究(图一)极大值f(b)点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称极值点,极大值和极小值统称为极值.极小值f(a)二、函数的极值定义设
3、函数f(x)在点x0附近有定义,如果对X0附近的所有点,都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0);◆函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的点x0称为极值点(图二)思考:极大值一定大于极小值吗?(1)极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。(2)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区
4、间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。归纳总结课后练习1.如图是函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点?随堂练习答:x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点,其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点,x3,x6函数y=f(x)的极小值点。导数值为0的点一定是函数的极值点吗?导数值为0的点一定是函数的极值点吗?是为可导函数的极值点的必要不充分条件。xyOy=x3xyO(1)极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它
5、附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。(2)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。归纳总结(4)是为可导函数的极值点的必要不充分条件。一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:(1)如果在x0附近的左侧f΄(x)﹥0,右侧f΄(x)﹤0,那么,f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f΄(x)﹤0,右侧f΄(x)﹥0,那么,f(x0)是极小值。2、极
6、值的判别方法下面分两种情况讨论:(1)当,即x>2,或x<-2时;(2)当,即-2<x<2时。例4:求函数的极值.解:∵∴当x变化时,的变化情况如下表:∴当x=-2时,f(x)的极大值为令解得x=2,或x=-2.当x=2时,f(x)的极小值为(4)检查在的根左,右两边值的符号,如果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值(或极小值)归纳:求函数y=f(x)极值的方法是:(1)确定函数的定义域(2)求方程的全部解(3)用的全部根顺次将函数的定义域分成若干开区间,并列成表格.巩固练习:1、求函数的极值解:∵∴令,得,或下面分两种情况
7、讨论:(1)当,即时;(2)当,即,或时。当变化时,的变化情况如下表:∴当时,有极小值,并且极小值为当时,有极大值,并且极大值为课堂总结:一、方法:(1)确定函数的定义域(2)求导数f'(x)(3)求方程f'(x)=0的全部解(4)检查f'(x)在f'(x)=0的根左,右两边值的符号,如果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值(或极小值)二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值,并能应用函数的极值解决函数的一些问题作业:今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值思考:已知函数在处取得极值求函数的解析式解:∵在
8、取得极值,∴即解得∴