《理论分析》PPT课件

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1、§1.2理论分析一、误差分析由例1.1可见，Euler法比梯形法精度高。为了讨论方法的精度，我们引入局部截断误差与整体截断误差这两个概念。1、局部截断误差Euler法是由中舍弃无穷小量而得到的，记称为Euler法的局部截断误差。由数值积分可知，梯形法的局部截断误差为可见梯形法的局部截断误差的阶比Euler法高一阶。定义：若一种数值方法的局部截断误差为则称该方法具有p阶精度或是p阶方法。从以上分析可知，Euler法是一阶方法（或具有一阶精度），梯形法是二阶方法（或具有二阶精度），梯形法比Euler法精度高，例

2、1.1计算结果也表明了这一点。2、整体截断误差记，称为整体截断误差。下面分析Euler法的整体截断误差，因所以其中，递推得注意到于是故右端依赖于初值误差和局部截断误差界R。取,若，则类似于上述讨论，同学们可分析梯形法整体截断误差满足可见，局部截断误差阶比整体截断误差高一阶。二、收敛性研究问题：当时，，这就是收敛性问题。可见，收敛性问题就是考查。由式(2-1),(2-2),(2-3)知，Euler法及梯形法均收敛。式(2-1),(2-2),(2-3)称为误差估计式。要考察一个算法的收敛性情况，必须先作出该算法

3、的误差估计。三、稳定性研究问题：解对初值的连续依赖性如何？在实际计算中，初值往往都是测量值或实验值，包括舍入误差，所以初值一般不能精确给出，这个误差在计算中将依次传递下去，如果传递误差能够被控制，则说该算法稳定；否则就说该算法不稳定，显然不稳定的算法是不能用的，稳定的算法才可能有用。下面给出稳定性定义。定义：若存在常数C及h，使对于任意初始值和及相应的解和，有估计式则称该算法稳定。下边讨论Euler法的稳定性。设有初值和，则两式相减，得记，则有故有估计式可见，Euler法是稳定的。同学们可类似讨论梯形法的稳

4、定性。一种算法是否实际可用，必须回答下边两个问题：(1)收敛性。(2)稳定性。当然在考查收敛性时首先得做出误差估计。这些问题是微分方程数值解法中必须研究的理论问题，具有重要意义。一个格式既是收敛的又是稳定的才是有用的。上边讨论了Euler法的收敛性及稳定性，同学们讨论了梯形法的收敛性及稳定性，这两个算法都是收敛的，稳定的。