线性代数方程组的迭代解法

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1、Tel：86613747E-mail：lss@zjtcm.net授课:68学分：4在第二章中我们知道，凡是迭代法都有一个收敛问题，有时某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。一个收敛的迭代法不仅具有程序设计简单，适于自动计算，而且较直接法更少的计算量就可获得满意的解。因此，迭代法亦是求解线性方程组，尤其是求解具有大型稀疏矩阵的线性方程组的重要方法之一。第四章解线性方程组的迭代法4.2迭代法的基本思想迭代法的基本思想是将线性方程组转化为便于迭代的等价方程组，对任选一组初始值，

2、按某种计算规则，不断地对所得到的值进行修正，最终获得满足精度要求的方程组的近似解。设非奇异，，则线性方程组有惟一解，经过变换构造出一个等价同解方程组将上式改写成迭代式选定初始向量,反复不断地使用迭代式逐步逼近方程组的精确解,直到满足精度要求为止。这种方法称为迭代法如果存在极限则称迭代法是收敛的，否则就是发散的。收敛时，在迭代公式中当时，,则,故是方程组的解。对于给定的方程组可以构造各种迭代公式。并非全部收敛例4.1用迭代法求解线性方程组解构造方程组的等价方程组据此建立迭代公式取计算得迭代解离精确解越

3、来越远迭代不收敛4.3雅可比（Jacobi）迭代法4.3.1雅可比迭代法算法构造例4.2用雅可比迭代法求解方程组解：从方程组的三个方程中分离出和建立迭代公式取初始向量进行迭代,可以逐步得出一个近似解的序列：（k=1,2,…）直到求得的近似解能达到预先要求的精度，则迭代过程终止，以最后得到的近似解作为线性方程组的解。当迭代到第10次有计算结果表明，此迭代过程收敛于方程组的精确解x*=(3,2,1)T。考察一般的方程组，将n元线性方程组写成若,分离出变量据此建立迭代公式上式称为解方程组的Jacobi迭代

4、公式。4.3.2雅可比迭代法的矩阵表示设方程组的系数矩阵A非奇异，且主对角元素，则可将A分裂成记作A=L+D+U则等价于即因为，则这样便得到一个迭代公式令则有（k=0,1,2…）称为雅可比迭代公式,B称为雅可比迭代矩阵其中在例4.2中,由迭代公式写出雅可比迭代矩阵为雅可比迭代矩阵表示法，主要是用来讨论其收敛性，实际计算中，要用雅可比迭代法公式的分量形式。即(k=0,1,2,…)4.3.3雅可比迭代法的算法实现4.4高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法4.4.1高斯-塞德尔迭代法的基本思想在

5、Jacobi迭代法中，每次迭代只用到前一次的迭代值，若每次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在求时用新分量代替旧分量,就得到高斯-赛德尔迭代法。其迭代法格式为：(i=1,2,…,nk=0,1,2,…)例4.3用GaussSeidel迭代格式解方程组精确要求为ε=0.005解GaussSeidel迭代格式为取初始迭代向量,迭代结果为：x*≈4.4.2Gauss—Seidel迭代法的矩阵表示将A分裂成A=L+D+U，则等价于(L+D+U)x=b于是,则高斯—塞德尔迭代过程因为,所以则高斯-塞德尔迭代形

6、式为：故令4.4.3高斯—塞德尔迭代算法实现高斯-塞德尔迭代算法的计算步骤与流程图与雅可比迭代法大致相同，只是一旦求出变元的某个新值后,就改用新值替代老值进行这一步剩下的计算。高斯-塞德尔迭代算法的程序实现(见附录AA-7用高斯—塞德尔迭代法求解线性方程组）4.5超松弛迭代法（SOR方法）使用迭代法的困难在于难以估计其计算量。有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速度缓慢，使计算量变得很大而失去使用价值。因此，迭代过程的加速具有重要意义。逐次超松弛迭代（SuccessiveOverrelaxaticMet

7、hod，简称SOR方法）法，可以看作是带参数的高斯—塞德尔迭代法，实质上是高斯-塞德尔迭代的一种加速方法。4.5.1超松弛迭代法的基本思想超松弛迭代法目的是为了提高迭代法的收敛速度，在高斯—塞德尔迭代公式的基础上作一些修改。这种方法是将前一步的结果与高斯-塞德尔迭代方法的迭代值适当加权平均，期望获得更好的近似值。是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，有着广泛的应用。其具体计算公式如下：⑴　用高斯—塞德尔迭代法定义辅助量。⑵　把取为与的加权平均，即合并表示为：式中系数ω称为松弛因子，当ω=1时，便为高

8、斯-塞德尔迭代法。为了保证迭代过程收敛，要求0<ω<2。当0<ω<1时，低松弛法；当1<ω<2时称为超松弛法。但通常统称为超松弛法(SOR)。4.5.2超松弛迭代法的矩阵表示设线性方程组的系数矩阵A非奇异,且主对角元素,则将A分裂成A=L+D+U,则超松弛迭代公式用矩阵表示为或故显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异,(因为假设)于是超松弛迭代公式为令则超松弛迭代公式可写成例4.4用SOR法求解线性方程组取ω=1.46，要求解：SOR迭代公式k=0,1,2,…，初值该