级数的概念和性质

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1、无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数第八章本质是无穷多个数求和的问题1一、常数项级数的概念引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积S.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正第一节级数的概念和性质2引例2.(神秘的康托尔尘集)把[0,1]区间三等分,舍弃中间的开区间将剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃在中间的开区间,如此反复进行这种“弃中”操作,问丢弃部分的总长和剩下部分的总长各是多少？丢弃的各开区间长依次为故丢弃部分总长剩余部分总长剩余部分总长虽然为0,但康托尔证明了其

2、成员和实数“一样多”,它们象尘埃一样散落在[0,1]区间上,人们称其为康托尔尘集.0131、级数的定义:—(常数项)无穷级数一般项部分和数列级数的部分和如何定义无穷个数相加？42、级数的收敛与发散:当级数收敛时,称差值为级数的余项.显然5解收敛发散例1讨论等比级数(几何级数)的收敛性.62).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而则级数成为不存在,因此级数发散.综上所述,7例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和8(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和好处：可以计算级数的和的值9解练习：讨论无穷级数的收敛性.10

3、二、级数的重要性质性质1(级数收敛的必要条件)证明注：正项级数收敛的本质——un0足够快。11说明：1、如果级数的一般项不趋于零,则级数发散；级数发散；级数发散。级数敛散性判别的第一步122、必要条件不充分：再举一个重要例子：但级数发散。调和级数13讨论于是矛盾，调和级数14浴缸浴缸能加满水吗1……浴缸1……15由级数收敛的定义，以及极限的性质，不难证明。也收敛,且有性质2线性运算性质性质2(2)表明收敛级数可逐项相加或相减.16注:证矛盾.例如,17性质3收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.证略。注收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.推论如果加括弧后所成的级数发散,则原级

4、数也发散.例如例如，则级数且和不变.本质是部分和的子序列逆否命题18去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响性质4它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).19例5判断下列级数的敛散性：因为都收敛，故原级数收敛，解且和为20例5判断下列级数的敛散性：收敛；发散。21公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里

5、斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,…,如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？课外阅读：齐诺悖论—阿基里斯与乌龟22如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论就会不攻自破.2324