第25讲：高频考点分析之直线与圆探讨

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1、【备战2013高考数学专题讲座】第25讲：高频考点分析之直线与圆探讨1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，第13讲～第28讲我们对高频考点进行探讨。结合2012年全国各地高考的实例，我们从以下三方面探讨直线与圆问题的求解：1.直线的方程和性质；2.圆的方程和性质；3.直线与圆的综合问题。一、直线的方程和性质：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1.（2012年北京市文5分）某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系如图所示.从目

2、前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为【】A.5B.7C.9D.11【答案】C。【考点】直线斜率的几何意义。【解析】据图像识别看出变化趋势，利用变化速度可以用导数来解，但图像不连续，所以只能是广义上的。实际上，前n年的年平均产量就是前n年的总产量S与n的商：，在图象上体现为这一点有纵坐标与横坐标之比。因此，要使前m年的年平均产量最高就是要这一点的纵坐标与横坐标之比最大，即这一点与坐标原点连线的倾斜角最大。图中可见。当n=9时，倾斜角最大。从而m值为9。故选C。二、圆的方程和性质：典型例题：【版权归锦元

3、数学工作室，不得转载】例1.（2012年山东省文5分）圆与圆的位置关系为【】A内切　　B相交　　C外切　　D相离【答案】B。【考点】两圆位置关系的判定。【解析】∵两圆圆心分别为（－2，0），（2，1），∴两圆圆心距为。又∵两圆半径分别为2，3，∴两圆半径之差为1，半径之和为5。∵，即两圆圆心距在两圆半径差与半径和之间，∴两圆相交。故选B。三、直线与圆的综合问题：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1.（2012年重庆市理5分）对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是【】A.相离B.相切C.相交但直线不

4、过圆心D.相交且直线过圆心【答案】C。【考点】直线与圆的位置关系，曲线上的坐标与方程的关系。【分析】从直线与圆的位置关系入手，因为直线过定点A（0，1），而点A在圆的内部，故直线与圆相交。将圆心（0，0）代入，左右不相等，所以圆心（0，0）不在直线上。故选C。别解：将代入得。∵根的判别式，∴有两不相等的实数根，即与的图象有两交点。同上判别圆心在不在直线上。还可求圆心到直线的距离来判别。例2.（2012年安徽省文5分）若直线与圆有公共点，则实数取值范围是【】【答案】。【考点】圆与直线的位置关系，点到直线的距离公

5、式，解绝对值不等式。【解析】设圆的圆心到直线的距离为，则根据圆与直线的位置关系，得。∴由点到直线的距离公式，得，解得。故选。例3.（2012年陕西省理5分）已知圆，过点的直线，则【】A.与相交B.与相切C.与相离D.以上三个选项均有可能【答案】A。【考点】直线与圆的位置关系。【解析】∵，∴点在圆C内部。故选A。例4.（2012年广东省文5分）在平面直角坐标系中，直线与圆相交于、两点，则弦的长等于【】A．B．C．D．【答案】B。【考点】直线与圆相交的性质。【解析】由直线与圆相交的性质可知，，要求，只要求解圆心到

6、直线的距离即可：由题意可得，圆心（0，0）到直线的距离，则由圆的性质可得，，即，解得。故选B。例5.（2012年湖北省文5分）过点的直线，将圆形区域分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为21【　　　】世纪教育网A.　B.　C.　D.【答案】A。【考点】分析法的应用，垂径定理，两直线垂直的性质，由点斜式求直线方程。【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线垂直即可。又已知点，则。故所求直线的斜率为-1。又所求直线过点，故由点斜式得，所求直

7、线的方程为，即。故选A。例6.（2012年福建省文5分）直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于【】A．2B．2C.D．1【答案】B。【考点】直线与圆的位置关系。【解析】根据圆的方程知，圆的圆心为(0,0)，半径R＝2，弦心距d＝＝1，所以弦长AB＝2＝2。故选B。例7.（2012年辽宁省文5分）将圆平分的直线是【】（A）（B）（C）（D）【答案】C。【考点】直线和圆的方程，曲线上点的坐标与方程的关系。【解析】∵，∴圆的圆心坐标为（1，2）。∵将圆平分的直线必经过圆心，∴逐一检

8、验，得过（1，2）。故选C。例8.（2012年重庆市文5分）设A，B为直线与圆的两个交点，则【】（A）1（B）（C）（D）2【答案】D。【考点】直线与圆相交的性质。【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据圆心在直线上，得到AB为圆的直径，根据直径等于半径的2倍，可得出

9、AB

10、的长：由圆，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1。∵圆心（0，0）在直线上，∴弦AB为圆O的直径。∴

11、AB

12、=2r=2。故