浙江专版2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线学案新人教A版选修

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1、2.3　2．3．1　双曲线及其标准方程预习课本P52～55，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？双曲线的焦点、焦距分别是什么？　　　2．什么是双曲线的标准方程？　　　　　　1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．[点睛]　平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为非零常数，即

4、

5、MF1

6、－

7、MF2

8、

9、＝2a，关键词“平面内”．当2a<

10、F1F2

11、时，轨迹是双曲线；当2a＝

12、F1F2

13、时，轨迹是分别以F1，

14、F2为端点的两条射线；当2a>

15、F1F2

16、时，轨迹不存在．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b224[点睛]　(1)标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方差，并且分母大小关系不确定．(2)a，b，c三个量的关系：标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a，b大小不确

17、定．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线(　　)(2)在双曲线标准方程－＝1中，a>0，b>0且a≠b(　　)(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×2．已知F1(3,3)，F2(－3,3)，动点P满足

18、PF1

19、－

20、PF2

21、＝4，则P点的轨迹是(　　)A．双曲线　　　　　　　B．双曲线的一支C．不存在D．一条射线答案：B3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________．答案：－＝1或－＝1双曲线

22、标准方程的认识[典例]　已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)A．k>5　　　　　　　B．k>5或－22或k<－2D．－2

23、k

24、－2)>0．即或解得k>5或－21，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　)A．焦点在x轴上的椭圆B

25、．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在x轴上的双曲线解析：选C　原方程化为－＝1，∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0．∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．求双曲线的标准方程[典例]　求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝4，经过点A；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．[解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9，∴所求双曲线的标准方程为－＝1．(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝

26、1(mn<0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴解得24∴所求双曲线的标准方程为－＝1．1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．　　　　[活学活用]根据下列条件

27、，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)；(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．解：(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为－＝1．由题意，知解得故双曲线的方程为－＝1．(2)∵焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是－y2＝1．双曲线定义的应用[典例]　已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P24是双曲线左支上的点，且

28、PF1

29、·

30、PF2

31、＝32．试求△F1PF2的面

32、积．[解]