离散随机信号的特征描述及其估计

《离散随机信号的特征描述及其估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第４章　离散随机信号的特征描述及其估计4.1引言4.2离散随机信号的特征描述4.3线性系统对平稳随机信号的响应4.4均值、方差、自相关函数的估计4.1引言随机信号是一种非确定性的信号，如热噪声信号发生器输出的电信号，飞行器起飞时的结构振动，以及起伏海面的波动高度等。它们的共同特点是无法预测其未来瞬间的精确值。处理的目的是便于从中提取有用的信息，削弱信号中的多余信息量，便于估计信号的特征参数，或变换成易于分析和识别的形式等。随机信号处理的主要理论基础是信号检测理论、估计理论和随机过程理论。根据理论分析，随机信号的不同样本函数在同一时刻的值往往是不确定的，因而只能用样本函数

2、集的统计平均来描述，如用均值、均方值、方差、概率密度函数、相关函数和功率谱密度函数来描述随机过程的特性。随机信号处理就是利用信号的这些统计特征或信号本身导出一套最佳的估计算法，然后利用软件或者硬件予以实现。下一章所讲的维纳滤波器和卡尔曼滤波器就是根据最佳原理实现的。离散随机信号或序列，是指由随机变量按一定顺序排列而成的时间序列，随机序列中的任何一个时间点上的取值都是不能先验确定的随机变量。即离散随机信号可表示为（4-1）式中为随机变量，它可以是有限维的也可以是无限维的。产生这些随机变量的过程称为随机过程，简记为。例如抛硬币就是一个随机过程，抛硬币的结果就是一个离散随机序列

3、。这个结果有两种状态，一种是正面朝上，用表示，另一种是反面朝上，用表示。连续抛掷，可以得到一个由+1和-1组成的序列如图4-1所示。这个序列就是离散随机信号或序列。要注意的是如果重新将抛掷硬币的过程进行一次，我们得到序列可能看起来与图4-1所示的序列完全不同，所以我们每次得到的序列是这个离散随机信号的一个样本序列。4.2离散随机信号的特征描述4.2.1平稳随机过程和各态历经性实际中的很多随机过程是属于平稳随机过程。设是一个平稳随机过程，则其随机序列在各点上的概率特性不随时间平移而变化，而且是无始无终的。即随机变量的概率特性对于任何时刻都是相同的，对于一个无始无终的平稳随机

4、信号，它的傅立叶变换是不存在的，也就是说它的频谱是不存在的，我们只能求它的功率谱。一个平稳随机信号的功率谱就是这个信号的自相关函数的傅立叶变换。因此，我们就可用信号的功率谱来表征它的谱特性。在本课程中我们所要讨论的随机序列都为平稳随机序列。4.2.2各态历经性随机过程的各个样本序列在某一时刻的各种平均特性，称为集合平均。当样本数趋于无穷时，集合平均就趋于统计平均；随即过程的某个样本序列在不同时刻的各种平均特性，称为时间平均。已知时刻随机变量的个取值的集合平均为（4-2）已知随机信号的一个样本序列，则其时间平均为（4-3）如果一个随机信号的时间平均等于过程的集合平均，则称随

5、机过程是各态历经的或各态遍历的。具体地说，如果有则称为均值各态历经随机过程。可见，对各态历经随机过程，可以用一个样本序列的时间平均计算随机过程的集合平均。实际上，对一个样本过程进行长时间统计比对许多样本进行统计要容易实现。实际处理信号时，对已获得的一个物理信号，先假设它是平稳的，再假设它是各态历经的。对信号按此假设处理后，再用处理结果来检验假设的正确性。各态历经的随机过程一定是平稳随机过程，实际中常用的高斯白噪声，就是平稳各态历经的。4.2.3离散随机信号的数字特征一个离散随机序列在任何时间点上的取值（随机变量）是不能先验确定的，但它一定具有一定的统计规律，可用其统计平均

6、特性来描述。例如抛硬币的所得到的离散序列，每个时间点上的取值虽然不能预知，但我们知道取值出现+1和-1的概率都为1/2。实际中要得知一个随机变量的概率分布函数是比较困难的，我们往往只要知道概率分布的某些数字特征就足够了。这些数字特征就是随机过程的矩，包括各阶原点矩和各阶中心矩。对于实随机过程，各阶原点矩是指原点差值各次方的均值，各阶中心矩是指与均值差值各次方的均值。平稳随机过程的主要数字特征包括以下几个：1.均值（数学期望）随机变量的均值可用表示均值就是一阶原点矩，它是全部样本在同一时刻取值的集合平均。2.均方值随机变量的均方值为取值平方后的集合平均，是二阶原点矩。3.方

7、差随机变量的方差定义为（4-4）方差是二价中心矩，反映了与均值的偏离程度。方差可以用均值和均方值表示，根据上式有即（4-5）4.自相关函数设两个时间点和上的随即变量分别为和，自相关函数用表示（4-6）这里是时间间隔，上式也可表示为（4-7）自相关函数是二价联合原点矩，它反映了同一随机信号在不同时刻取值的关联程度。5.自协方差函数自协方差函数用表示（4-8）自协方差函数是二价联合中心矩。自相关函数和自协方差函数只相差一个常数，它们之间没有本质的差别，即6.互相关函数和互协方差函数和是两个同时发生的随机过程，则它们之间的互相关函数