第七讲 行程问题9

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1、第七讲行程问题（9）——涉及比例关系的行程问题【知识精要】到现在为止，大家已经接触了很多很多的行程问题，从平均速度，到火车进山洞，以及相遇问题啊，追及问题啊，还有环形跑道这些形形色色的问题一定给大家留下了深刻的印象，不能否认，行程问题确实是小学应用题当中非常重要的一部分，而从前面的讲解中我们多少会有这样的感觉，当我们的知识深入之后，行程问题也一步一步地变得复杂起来，分数知识的加入和比例关系的引进使得这类问题的解决变得困难，但同时比例关系也让我们有了更厉害的“武器”，合理地利用比，正比例和反比例关系，一些困难题目

2、的解决会焕然一新。利用比例关系解决行程问题，关键在于弄明白速度，时间和路程之间的比例关系，我们已经知道，在一个人的行程问题中，当时间一定，速度和路程成正比例；当速度一定，路程和时间成正比例；当路程一定，速度和时间成反比例，但是，在两个人的行程问题中，也存在着如下的规律：（1）当时间一定时，两人的速度比是a:b，那么，他们的路程比也是a:b。（2）当速度一定时，两人的时间比是a:b，那么，他们的路程比也是a:b。（3）当路程一定时，两人的速度比是a:b，那么，它们所花的时间比为b:a。此外，由于分数和比例的同源性

3、，很多分数的关系也可以用比例的方法来解决，我们知道，分数的计算相对比较复杂，而比例的计算偏向于整数的计算，则在很多方面显得比较简单，这讲的题目里面，我们可以看到很多分数的题目在引入比例的计算之后，就变得简洁易懂。【例1】五（1）班同学徒步去山顶上看日出，去时每小时行8千米，按原路返回时每小时行6千米。他们往返的平均速度是多少？【分析】这个题目也许并不陌生，但是问题在于，现在我们并不知道路程和时间，而是仅仅知道两个速度就要求平均速度，我们知道平均速度的公式是：“平均速度=总路程÷总时间”，这里总路程和总时间都不知

4、道，所以我们只能假设路程为“1”，这样，总路程就是一个来回为“2”，而去的时间和回来的时间都可以求出来，加起来就是我们要的“总时间“。【解答】假设单向的路程为1，去的时间就是，回来的时间就是，总路程为2，这样，平均速度就是每小时（千米）。答：平均速度是每小时千米。【评注】这个题目有的同学可能会想，去的时候每小时8千米，回来的时候每小时6千米，平均速度难道不就是7千米每小时吗？这里需要大家注意了，平均速度的算法一定要牢记上面的这个公式“平均速度=总路程÷总时间”，刚才的那个错误，主要原因是，来和回的时间是不同的，

5、因此两个速度对平均速度的贡献也是不一样的，当时间相同的时候，可以那样简单地进行计算，所以大家不能随便想当然地就用“简便方法”。【举一反三】1，小明班上出去游玩，包车从学校开往森林公园，去时每小时行40千米，按原路返回时每小时行35千米。这辆客车往返的平均速度是多少？1，一艘轮船，静水速度是每小时18千米，现在从下游开往上游，水流速度是每小时2千米，请问他往返一次的平均速度是多少？2，一艘轮船，静水速度是每小时18千米，现在从下游开往上游，水流速度是每小时2千米，走到半途的时候，上流的水流速度变快，变成3千米每小

6、时，请问他往返一次的平均速度是多少？【例2】唐老鸭和米老鼠约好见面，两人开车同时从各自的家相对开出，几小时后在距中点40千米处相遇。已知唐老鸭的车行完全程要8小时，米老鼠的车行完全程要10小时，求它们的家相距多少千米？【分析】这个题目就是用比例来解决问题的好方法，在【知识精要】中我们讲到，当路程一样的时候，时间比和速度比成反比，这个题目例，它们的走完全程的时间比为8:10=4:5，因此他们的速度比就是5：4，然后这个题目是一个相遇问题，在相遇的时候，它们所走的时间是相同的，因此在相同时间下，速度比是5：4也就意

7、味着所走的路程比为5：4，因此，它们在相遇的时候，唐老鸭所走的距离和米老鼠所走的距离之比为5：4。下面一个问题就是，唐老鸭比米老鼠多走了多少，我们知道，在距中点40千米处相遇，也就是说，唐老鸭走了路程的一半还多40千米，而米老鼠走了路程的一半还少40千米，因此，唐老鸭比米老鼠多走的就是两个40千米等于80千米，加上前面分析的他们的路程比，就不难用差对应的关系来算出这个题目了。【解答】因为它们行完全程的时间比为8：10=4：5，所以他们的速度比为5：4，因此相遇的时候，所走的路程比为5：4。它们在离中点40千米处

8、相遇，因此唐老鸭比米老鼠多走了40+40=80（千米）。最后可以得出它们的家相距80÷（5-4）×（5+4）=720（千米）。答：它们的家相距720千米。【评注】这道题目就简单地利用了比例关系的特点从而将问题转化为前面所讲过的“比的运算”，这里也可以利用假设的速度计算他们的相遇时间，然后再计算出各自走过了行程的几分之几，接着利用分数的知识也可以求解，但是不如利用“时间比——速度比——路