奥数：第七讲 行程问题（二）

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1、第七讲行程问题　　在本讲中，我们研究两个运动物体作方向相同的运动时，路程、速度、时间这三个基本量之间有什么样的关系.例1下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.分析若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？解：40×5÷（60-40）　　=200÷20　　=10（分钟）　　答

2、：哥哥10分钟可以追上弟弟.　　我们把类似例1这样的题，称之为追及问题.如果我们把开始时刻前后两物体（或人）的距离称为路程差（如例1中的200米），从开始时刻到后者追上前者路程差这一段路程所用的时间称为追及时间，则从例1容易看出：追及问题存在这样的基本关系：　　路程差=速度差×追及时间.　　如果已知其中的两个量，那么根据上式就很容易求出第三个量.例2甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙.问：甲、乙二人的速度各是多少？分析若甲让乙先跑10米，

3、则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为10÷5=2（米/秒）；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于2×4=8（米），也即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度.综合列式计算如下：解：乙的速度为：10÷5×4÷2=4（米/秒）　　甲的速度为：10÷5+4=6（米/秒）　　答：甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒.例3某人沿着一条与铁路平行的笔直的小路由西向东行走，这时有一列长520米的火车从背后开来，此人在

4、行进中测出整列火车通过的时间为42秒，而在这段时间内，他行走了68米，则这列火车的速度是多少？分析整列火车通过的时间是42秒，这句话的意思是：从火车的车头追上行人时开始计时，直到车尾超过行人为止共用42秒，因此，如果我们把火车的运动看作是车尾的运动的话，则本题实际上就是一个车尾与人的追及问题，开始时刻，它们的路程差就等于这列火车的车长，追及时间就等于42秒，因此可以求出它们的速度差，从而求出火车的车速.解：520÷42+68÷42　　=（520+68）÷42　　=588÷42　　=14（米/秒）　　答：火车

5、的车速为14米/秒.例4幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？分析这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致.因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长（200米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程.解：①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：　　200÷（6-4）=

6、100（秒）　　②冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6×100=600（米）　　③晶晶第一次被追上时所跑的路程：　　4×100=400（米）　　④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：　　（600×2）÷200=6（圈）　　⑤晶晶第2次被追上时所跑的圈数：　　（400×2）÷200=4（圈）　　答：略.　　解答封闭路线上的追及问题，关键是要掌握从并行到下次追及的路程差恰是一圈的长度.例5军事演习中，“我”海军英雄舰追击“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军

7、英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？分析“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.解：（1000×10-600）÷（1470-1000）　　=（10000-

8、600）÷470　　=9400÷470　　=20（分钟）　　答：经过20分钟可开炮射击“敌”舰.例6在一条直的公路上，甲、乙两个地点相距600米，张明每小时行4公里，李强每小时行5公里.8点整，张李二人分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1分钟后他们都调头反向而行，再经过3分钟，他们又调头相向而行，依次按照1，3，5，…（连续奇数）分钟数调头行走，那么张、李二人相遇时是8点几分？分析无论相向还是反向，张李二人每分钟