第三节 古典概型与几何概型

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1、第1.3节古典概型与几何概型一古典概型二几何概型例如抛硬币问题，抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况.字面朝上1花面朝上2{,}.12且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同。例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容85易取得，也就是说，10个球中的任9614一个被取出的机会是相等的，均为723101/10。用i表示取到i号球，i=1,2,…,10.如i=2则该试验的样本空间为：2Ω={1,2,…,10},且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性

2、相同。881144559310766称这样一类随机试验对应的概率问题为古典概型。一、古典概型1.定义：设随机试验的样本空间为，i为基本事件（样本点），若满足:（1）有限性:基本事件的个数有限，{,,,}12n（2）等可能性：每个基本事件发生的概率相等。P()P()i,j1,2,,nij则称对应的概率模型为古典概型.2、基本事件发生的概率：1P(),i1,2,,nin证明：1P()P()12nn1P(i)nP(i)P(i)i1n3、事件发生的概率设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，且包含

3、m个样本点，则事件A出现的概率记为:A所包含的基本事件数P(A)基本事件总数有利于A的基本事件数m==基本事件总数n【注】求解古典概型问题的关键是弄清样本空间中的基本事件总数和对所求概率事件有利的事件个数．在考虑事件数的时候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题，掌握以下关于排列组合的知识是有用的：(1)、加法原理（分类）：设完成一件事有k类方法，每类又分别有m1,m2,,…,mk种方法，而完成这件事只需其中一种方法，则完成这件事共有m1+m2,+…+mk种方法。(2)、乘法原理（分步）：设完成一件事有n步．第一步有m1种方法、第二步有m2种方法，…第n步有mn种方法，则完成

4、这件事共有m1×m2×…×mn种方法。例如，某人要从甲地到乙地去,可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班乙地甲地回答是：3+2种方法轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮方法？可以有32种打扮方法。(3)、不同元素的选排列从n个不相同的元素中无放回取k个的排列(k＜n)，k称为从n个不同元素中取k个元素的选排列,共有An种。当n＝k时，称n个元素的全排列．共有n！种。例如：从3个元素取出2个的排列总数有6种2A63kn!An(n1)(n2)(nk1)n(nk)!(4)、不同元素的重复排列从n个不

5、同的元索中，有放回地取k个元素进行的k排列，共有n种（元素允许重复，1kn）。knnnn例如：从装有4张卡片的盒中1234有放回地摸取3张第1张第2张第3张n=4,k=3111222共有4.4.4=43种可能取法333444(5)、组合从n个不同元素中取出k个，而不考虑其次序的排列（组合），共有Ck种.nkn!Cnk!(nk)!rnrCCnn(6)、不全相异元素的排列在n个元素中，有m类不同元素、每类各有k1,k2,…km个，将这n个元素作全排列，共有如下种方式：n!k!k!k!12mk1个k2个……km个元素元素元素n个元素kkkn!因为:C1C2Cmn

6、nk1kmk!k!k!12m例如今有2个红球,3个黄球,4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有1_2_6_0_种不同的方法【注】不全相异元素的排列问题可以看成是特殊的平均分堆问题，但是如果m类元素都相同，那么就是一般的平均分堆问题。此时共有如下种分类方式n!k!k!k!m!12m例如，幼儿园的老师要把8个苹果平均分给4个不同的小朋友，有多少种分配方法？如果只是平均分成4堆？22228!CCCC252086422!2!2!2!2222CCCC8!86421054A2!2!2!2!4！4(7)、环排列从n个不同元素中，选出m个不同的元素排成一个圆环的排列，共

7、有：n(n1)(n2)(nm1)mC(m1)!nm【注】环排列有三个特点：(i)无头无尾；(ii)按照同一方向转换后仍是同一排列(iii)两个环排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同时，才是不同的环排列．排列是讲究次序的，次序不同是不同的排列。而组合是不讲究次序，只要元素相同，都是一个组合。4、古典概型的计算步骤：(1)明确样本空间，算出样本点总数n；(2)找出事件A的有利场合，算出A中样本点数m；(3)根据公式算出事件的概率。例1将一