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《第十章 10.4 直线与圆锥曲线的位置关系(01)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§10.4直线与圆锥曲线的位置关系考点 直线与圆锥曲线的位置关系1.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )A.334B.938C.6332D.94答案 D2.(2014辽宁,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )A.12B.23C.34D.43答案 D3.(2014北京,19,14分
2、)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解析 (1)由题意知,椭圆C的标准方程为x24+y22=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=2.故椭圆C的离心率e=ca=22.(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以OA·OB=0,即tx
3、0+2y0=0,解得t=-2y0x0.当x0=t时,y0=-t22,代入椭圆C的方程,得t=±2,故直线AB的方程为x=±2.圆心O到直线AB的距离d=2.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=y0-2x0-t(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=
4、2x0-ty0
5、(y0-2)2+(x0-t)2.又x02+2y02=4,t=-2y0x0,故d=2x0+2y02x0x02+y02+4y02x02+4=4+x02
6、x0x04+8x02+162x02=2.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.4.(2014天津,18,13分)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知
7、AB
8、=32
9、F1F2
10、.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.解析 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由
11、AB
12、=32·
13、F1F2
14、,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则c
15、2a2=12.所以椭圆的离心率e=22.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为x22c2+y2c2=1.设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c).由已知,有F1P·F1B=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有x0+y0+c=0.①又因为点P在椭圆上,故x022c2+y02c2=1.②由①和②可得3x02+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-43c,代入①得y0=c3,即点P的坐标为-4c3,c3.设
16、圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-43c+02=-23c,y1=c3+c2=23c,进而圆的半径r=(x1-0)2+(y1-c)2=53c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得
17、kx1-y1
18、k2+1=r,即k-2c3-2c3k2+1=53c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±15.所以直线l的斜率为4+15或4-15.5.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双
19、曲线C1:x2a2-y2b2=1过点P且离心率为3.(1)求C1的方程;(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.解析 (1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-x0y0,切线方程为y-y0=-x0y0(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=12·4x0·4y0=8x0y0.由x02+y02=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=2时x0y
20、0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(2,2).由题意知2a2-2b2=1,a2+b2=3a2,解得a2=1,b2=2,故C1的方程为x2-y22=1.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-3,0),(3,0),由此设C2的方程为x23+b12+y2b12=1,其中b1>0.由P(2,2)在C2上,得23+b12+2b12=1,解得b12=3,因此C2的方程为x26+y23=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+3,点A(x1,y1),B(x2,y2),由x=my+
