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时间：2019-07-06
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1、若ynM,MR,则称{yn}有上界.若ynm,mR，则称{yn}有下界.{yn}:有界既有上界又有下界.第五节极限的存在性定理一个数列有界(有上界,有下界),则必有无穷多个界(上界,下界).第五节极限的存在性定理定理2.14单调有界数列必有极限.例1设时有且求解由故单调由故有界综上所述,数列极限存在.且得同理由设两边取极限,得:得(舍去)例求数列的极限.解(1)存在性令单调性时设时时故对一切正整数有所以数列递增.有界性时时设时故对一切正整数有,所以数列有界.综上所述,数列极限存在.(2)求值设将两边求极限得即故例求数列的极限.定理2.15如果数列满足下列条件(1)从某项开始有
2、(2)则数列极限存在,并且证由已知,对同时成立即所以成立因此注(1)此定理称为两边夹法则或夹逼定理.(2)不等式两边极限必须存在且相等.(3)此定理对一般函数极限仍然成立.例3求解因为且所以原式例4求解因为且所以原式常见的建立不等式的方法:(1)分母变大分数值变小,分母变小分数值变大.(2)去掉小项和变小,小项变大和变大.看懂后,用精确地语言描述它.两边夹定理函数极限的夹逼定理定理例5求解由所以原式例6求解当时由得当时得当时得由故例7求解当时由得当时所以由所以得当时得故
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