三角形四心的向量性质及应用(学生版)

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1、三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O为△ABC内一点，则有：SOASOBSOC0OBCOCAOAB一、三角形的重心的向量表示及应用1知识：G是△ABC的重心AG(ABAC)31AGBGCG0OG(OAOBOC)(O为该平面上任意一点)3变式：已知DEF，，分别为△

2、ABC的边BCACAB，，的中点．则ADBECF0．二、三角形的外心的向量表示及应用222知识：O是△ABC的外心

3、OA

4、

5、OB

6、

7、OC

8、OAOBOCsin2AOAsin2BOBsin2COC022

9、AB

10、

11、AC

12、常用结论：O是△ABC的外心ABAO;ACAO.22三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H是△ABC的垂心HAHBHBHCHCHA222222

13、HA

14、

15、BC

16、

17、HB

18、

19、CA

20、

21、HC

22、

23、AB

24、tanAHAtanBHBtanCHC0扩展：若O是△ABC的外心，点H满足：OHOAOBOC，则H是△A

25、BC的垂心四、三角形的内心的向量表示及应用ABACBAACAI0AI0

26、AB

27、

28、AC

29、

30、BA

31、

32、AC

33、BABCCBBA知识：I是△ABC的内心BI0BI0

34、BA

35、

36、BC

37、

38、CB

39、

40、BA

41、CACBBCCACI0CI0

42、CA

43、

44、CB

45、

46、BC

47、

48、CA

49、aOAbOBcOCaIAbIBcIC0OIabcsinAIAsinBIBsinCIC0注：式子中a

50、BC

51、,b

52、CA

53、,

54、c

55、AB

56、，O为任一点．---1---1五．欧拉线：△ABC的外心O，重心G，垂心H三点共线(欧拉线)，且OGGH．2测试题一．选择题1．O是ABC所在平面上一定点，动点P满足OPOA(ABAC)，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心ABAC2．(03全国理4)O是ABC所在平面上一定点，动点P满足OPOA()，0,，ABAC则点P的轨迹一定通过ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心ABAC3．O是ABC所在平面上一定点，动点P满足OPOA()，R，ABcosBACcosC则点P的轨迹

57、一定通过ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心ABAC4．O是ABC所在平面上一定点，动点P满足OPOA()，0,，ABsinBACsinC则点P的轨迹一定通过ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心OBOCABAC5．O是ABC所在平面上一定点，动点P满足OP，R，2ABcosBACcosC则点P的轨迹一定通过△ABC的()．A．外心B．内心C．重心D．垂心16．O是ABC所在平面上一定点，动点P满足OP[(1)OA(1)OB(12)OC]，

58、R*，3则点P的轨迹一定通过△ABC的()．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点1117．已知O是ABC的重心，动点P满足OP(OAOB2OC),则点P一定为△ABC的()322A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点228．在△ABC中，动点P满足：CACB2ABCP，则P点轨迹一定通过△ABC的()Ａ．外心Ｂ．内心C．重心D．垂心9．已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PAPBPC0，若实数满足：ABACAP，则的值为()3A．2B．C．3D．62SSSPBCPCAPAB10．设点P是ABC内

59、一点，用S表示ABC的面积，令，，．ABC123SSSABCABCABC---2---111111定义f(P)(1,2,3)，若f(G)(,,),f(Q)(,,)则()333236A．点Q在ABG内B．点Q在BCG内C．点Q在CAG内D．以上皆不对11．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OAOBOC0，则OAOB()11A．B．0C．1D．2222222212．O