资源描述：
《三角形四心的向量性质及应用(反思答案版)20120520》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、ODnAnn-由A"共线’得：丽*丽”由①②得:般贰沽刀+餡况^代入(*)结论得s九:s刀+s计?刀°M)CA丁°U)AB°M)CA丁°U)ABM)BC£OM)AB°M)CA丁°AOAB•oc=o消去分母得：S'OBC•OA+S、OCA•OB+S^oabOC=0证毕.三角形"四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍⑴重心一三条中线的交点：重心将中线氏度分成2：1；(2)外心一三边屮垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心一三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心一三条内角平
2、分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等.工具：0为内一点，则有：Sobc•%+^m)ca•°B+SM)Afi•OC=0证明：延长A0交BC于D,如图必有：一也匹一= DS'OCA+S、OABI°人ISOAB-I,SMCA-IC£>
3、Sgcx+S、oabIBC
4、SgCA+S&OABIBCI进而得：罰•亦而=6由吓C共线,得：0D=^.08+W.0C—AG—AH—二s歸c(OA+应AB+衣AC)=Smbc(OA+AG+AH)=Swc(°A+A°)=°•必有：人：入：厶=S0BOC:S
5、^COA:SgO8•证明：作：OA^A.OA,丽二入•亦，OC'=^OC则页+OB'+OC^O,则O为△A'B'C'的重心，则:S/OC=^AC'OA'=^AA'OB'•设为SSSB'OC=2仏*S、BOC~S^AC'OA'=4人°Scoa—SSa/TOF-凡石・Smob=SsSS从而得：人：入：心二――:——:――=SB()c:S^C()A:S^ob•OB'=SgcA•OB,OC=Smar-OCOCA/C启示：原题屮，作：OA'=SM)CH-OA,ACMOBfBOC，同理二Saao/t二zS、COA・Smo
6、b・SM()c二=SB'OC//oc从而:O为AAB'C的重心，则OA+OB'+OC=0,得：Sobc*OA+SAOCA•OB+SM)AH-OC=0•验证式思考：先证引理：若ag不共线，对〃，有a・〃=0且乙•〃=0,必有p=0.c证明：若p“必有。丄"且方丄/儿得a//b,与题设矛盾，故必有p=0.再证：设ZBOC=a,,COA=0,则乙AOB=2兀_a_(3；由OA(Swbc-OA+SgcA•OB+S、oab'°C)=SM)BC•°A+^M)CA°A•°B+Sz)abOA・OC=-0BOCsxnaOA2+
7、-0COAsin0OAOBcos(2/r_a_0)+loAOBsin(2/r—a—0)OAOCcos0222=—OA2•OB•OC[sinQ+sin0cos(a+0)-sin(a+/?)cos0]2=^OA2OB-OC{sina+sin[0—(a+0)]}=—OA2•OB•OC[sina+sin(-a)]=0；有对称性知：OB(S、obc•%+^m)ca•OB+Sm)ab•OC)=0,乂OA,OB不共线,故：必有S'OBC•°A+S^OCA•OB+S^0AB•OC=6成立•思考：当O在边界上或为端点时，结论也成立
8、；当O在三角形Z外时，面积当理解为有向面积，结论也成立.一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G是△ABC的重心oAG=-(AB+Xc)（O为该平面上任意一点）I•■■I■fI♦II■■♦I♦oGA+GB+GC=0«OG=-(OA+OB+OC)略证：Sme:Hgca:=1:1:1,得：GA+GB+GC-0.变式：已知DE,F分别为AABC的边BC,AC,AB的中点.则A/5+B£+CF=6.二、三角形的外心的向量表示及应用■.‘•■2■2‘•2知识：0是△ABC的外心«
9、0A1=1OB
10、=
11、0COA=0B=0C<
12、=>sin2A-OA+sin2B•OB+sin2C•OC=6略证：Sm)bc:S、ocA:Sm)ab=sin2A:sin2B:sin2C,得：sin2A-OA+sin2B-OB+sin2C•OC=0;（此吋的面积为有向面积，即当90°°，Sqw>°，因O在BC边之外;当A=90°时，当理解为=0,Sgc>0,Sqb>°，上式依然成立）反之:若有sin2A•OA+sin2B•OB+sin2C•OC=0,贝!)：SA0BC:SM)CA:S^0AB=sin2A:sin2B:si
13、n2C得到：丄OB・OC・sinZBOC:丄OC•OA•sinZCOA:丄OA•OB•sinZAOB=sin2A:sin2B:sin2C222扫却sinZBOCsinZCOAsinZAOB_._n__..,LTfflosin2Asin2Bsin2C常用结论：。是sc的外心。而•碗讐且疋碗筈证明：先取为边AB,AC的中点，三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：mABC的垂心
