三角形四心的向量性质练习

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1、三角形“四心”的向量一、三角形的重心的向量表示及应用命题一已知A，B，C是不共线的三点，G是△ABC内一点，若GAGBGC0．则G是△ABC的重心．证明：如图1所示，因为GAGBGC0，所以GA(GBGC)．以GB，GC为邻边作平行四边形BGCD，则有GDGBGC，所以GDGA．又因为在平行四边形BGCD中，BC交GD于点E，所以BEEC，GEED．所

2、以AE是△ABC的边BC的中线．故G是△ABC的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1如图2所示，△ABC的重心为G，O为坐标原点，OAa，OBb，OCc，试用a，b，c表示OG．解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点，aOGGAbOGGBcOGGC图2abcOGGAGBGC而abc3OG0abcOG31变式：已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的

3、中点．则ADBECF0．证明：如图的所示，3ADGA23BEGB23CFGC23ADBECF(GAGBGC)图32GAGBGC0ADBECF0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上任意一点，1则PO(PAPBPCPD)．411证明：PO(PAPC)，PO(PBPD)，221

4、PO(PAPBPCPD)．4点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P与O重合，则上式变为OAOBOCOD0．例2.已知O是平面内一点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足1OPOAABBC，0,，则动点P的轨迹一定通过ABC的2A.重心B.垂心C.外心D.内心2题2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(A

5、BAC),[0,).则P点的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：由已知得AP(ABAC)，设BC的中点为D，则根据平行四边形法则知点P在BC的中线AD所在的射线上，故P的轨迹过△ABC的重心，选C.题3：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点PABAC满足OPOA(),[0,),则动点P的轨迹一定通过

6、AB

7、sinB

8、AC

9、sinC△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心

10、ABAC解：由已知得AP()，

11、AB

12、sinB

13、AC

14、sinC由正弦定理知

15、AB

16、sinB

17、AC

18、sinC，∴AP(ABAC)，

19、AB

20、sinB设BC的中点为D，则由平行四边形法则可知点P在BC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，故选A.题7：已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满1足OP[(1)OA(1)OB(12)OC](R,0)，则

21、P的轨迹一3定通过△ABC的()A.内心B.垂心C.重心D.AB边的中点1解：CPOPOC=[(1)OA(1)OB2(1)OC]311=[(OAOC)(OBOC)]=(CACB),由平行四边形法则33知CACB必过AB边的中点，注意到0，所以P的轨迹在AB边的中线上，但不与重心重合，故选D.3题8：已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOBOC=0,则O点是

22、△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：若OAOBOC=0,则OAOBOC，以OA、OB为邻边作平行四