三角形四心的向量性质及应用(学生版)

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1、三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点:重心将中线长度分成2:1;(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等;(3)垂心—三条高线的交点:高线与对应边垂直;(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等.工具:O为△ABC内一点,则有:SOASOBSOC0OBCOCAOAB一、三角形的重心的向量表示及应用1知识:G是△ABC的重心AG(ABAC)31AGBGCG0OG(OAOBOC)(O为该平面上任意一点)3变式:已知DEF,,分别为△

2、ABC的边BCACAB,,的中点.则ADBECF0.二、三角形的外心的向量表示及应用222知识:O是△ABC的外心

3、OA

4、

5、OB

6、

7、OC

8、OAOBOCsin2AOAsin2BOBsin2COC022

9、AB

10、

11、AC

12、常用结论:O是△ABC的外心ABAO;ACAO.22三、三角形的垂心的向量表示及应用知识:H是△ABC的垂心HAHBHBHCHCHA222222

13、HA

14、

15、BC

16、

17、HB

18、

19、CA

20、

21、HC

22、

23、AB

24、tanAHAtanBHBtanCHC0扩展:若O是△ABC的外心,点H满足:OHOAOBOC,则H是△A

25、BC的垂心四、三角形的内心的向量表示及应用ABACBAACAI0AI0

26、AB

27、

28、AC

29、

30、BA

31、

32、AC

33、BABCCBBA知识:I是△ABC的内心BI0BI0

34、BA

35、

36、BC

37、

38、CB

39、

40、BA

41、CACBBCCACI0CI0

42、CA

43、

44、CB

45、

46、BC

47、

48、CA

49、aOAbOBcOCaIAbIBcIC0OIabcsinAIAsinBIBsinCIC0注:式子中a

50、BC

51、,b

52、CA

53、,

54、c

55、AB

56、,O为任一点.---1---1五.欧拉线:△ABC的外心O,重心G,垂心H三点共线(欧拉线),且OGGH.2测试题一.选择题1.O是ABC所在平面上一定点,动点P满足OPOA(ABAC),0,,则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心ABAC2.(03全国理4)O是ABC所在平面上一定点,动点P满足OPOA(),0,,ABAC则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心ABAC3.O是ABC所在平面上一定点,动点P满足OPOA(),R,ABcosBACcosC则点P的轨迹

57、一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心ABAC4.O是ABC所在平面上一定点,动点P满足OPOA(),0,,ABsinBACsinC则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心OBOCABAC5.O是ABC所在平面上一定点,动点P满足OP,R,2ABcosBACcosC则点P的轨迹一定通过△ABC的().A.外心B.内心C.重心D.垂心16.O是ABC所在平面上一定点,动点P满足OP[(1)OA(1)OB(12)OC],

58、R*,3则点P的轨迹一定通过△ABC的().A.内心B.垂心C.重心D.AB边的中点1117.已知O是ABC的重心,动点P满足OP(OAOB2OC),则点P一定为△ABC的()322A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点228.在△ABC中,动点P满足:CACB2ABCP,则P点轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心9.已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P,满足PAPBPC0,若实数满足:ABACAP,则的值为()3A.2B.C.3D.62SSSPBCPCAPAB10.设点P是ABC内

59、一点,用S表示ABC的面积,令,,.ABC123SSSABCABCABC---2---111111定义f(P)(1,2,3),若f(G)(,,),f(Q)(,,)则()333236A.点Q在ABG内B.点Q在BCG内C.点Q在CAG内D.以上皆不对11.若ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,OAOBOC0,则OAOB()11A.B.0C.1D.2222222212.O

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