数学物理方法综合卷

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1、备注试卷共7张（即14页）、共九道大题；考试时间为120分钟题号一（10分）二（10分）三（10分）四（10分）五（10分）六（10分）七（10分）八（15分）九（15分）常用的公式（注：仅供参考）：拉普拉斯算子作用于标量场在圆柱坐标系和球坐标系下的表示：；勒让德多项式的微分表示：勒让德-傅里叶级数展开：定义在的区间的至少分段光滑函数可以展开为广义傅里叶级数：其中，系数勒让德多项式的生成函数：在球坐标下下的梯度表示得分一、（本题10分，每小题5分）（1）证明：，其中，为常矢量。（2）计算矢量场的旋度

2、。3二、（本题10分，每小题5分)将下列复数写成代数形式，其中为虚数单位，（1）；（2）得分三、（本题10分)已知解析函数的实部，且满足，求该解析函数。得分五、（本题10分)计算实变函数积分，得分六、（本题10分)设有一根均匀的柔软的细弦，当它做微小的横振动时，除受内部张力作用外，还受到阻尼力的作用，设阻尼力与速度成正比，比例系数为，即单位长度的弦所受阻力。试写出带有阻尼的弦振动方程。3七、（本题10分)将定解问题的边界条件齐次化，设，并假设满足齐次边界条件，请写出关于的相应的定解问题。（注：不必对

3、边条件齐次化后的定解问题进行求解）八、（本题15分)求解定解问题的解九、（本题15分)在均匀电场中放置一个半径为并接地的导体球，求导体球放入电场达到静电平衡后，球外各点的电势分布，并算出各点的电场强度和导体表面的电荷分布。3