数列与解析几何综合—点列问题

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1、专题：数列与解析几何综合——点列问1．如图，直线与相交于点P.直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，…，点Pn（n=1，2，…）的横坐标构成数列（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）比较的大小.【解析】（Ⅰ）证明：设点Pn的坐标是，由已知条件得点Qn、Pn+1的坐标分别是：由Pn+1在直线l1上，得所以即（Ⅱ）解：由题设知又由（Ⅰ）

2、知，所以数列是首项为公比为的等比数列.从而（Ⅲ）解：由得点P的坐标为（1，1）.所以（i）当时，>1+9=10.而此时（ii）当时，<1+9=10.而此时EX：已知点都在直线上，为直线与轴的交点，数列成等差数列，公差为1.　（）8(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和.(3)求证：……+(2,)【解析】(1)4分（2）令==14则它的前项的和=13，=4分(3)2分4分2、如图，曲线上的点与x轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形设正三角形的边长为,n∈N﹡(记为),.(1)求的值;P1P

3、2P3Q1Q2O(2)求数列{}的通项公式;(3)求证:当时,.【解析】（1）由条件可得,代入曲线得;(2)∴点代入曲线并整理得,于是当时,即8又当,故所以数列{}是首项为、公差为的等差数列,;(3)由（2）得，当时，，欲证，只需证，即证，设，当时，f（n）递增.而当时,有成立.所以只需验证n=2时不等式成立.------13分事实上,.综上,原不等式成立.------------------------------------------14分3、已知曲线C：，：（）。从上的点作轴的垂线，交于点

4、，再从点作轴的垂线，交于点，设。（I）求的坐标；（II）求数列的通项公式；（III）记数列的前项和为，求证：【解析】8（1）由题意得知，，（2），，点的坐标为在曲线上，，又在曲线上，（III）……+……7分==……………………………………11分，6．（本小题满分15分，其中第一小问4分，第二小问6分，第三小问5分）过曲线上的点作曲线C的切线l1与曲线C交于，过点P2作曲线C的切线l2与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：，（1）求点P2、P3的坐标.8（2）求数列的通项公式.（3）记点到直线的距离为

5、，求证：.【解析】（1）…………………………………………4分（2）曲线C上点处的切线的斜率为，故得到的方程为……………………………………6分联立方程消去y得：化简得：所以：………………8分由得到点Pn的坐标由就得到点的坐标所以：故数列为首项为1，公比为－2的等比数列所以：…………………………………………10分（3）由（2）知：所以直线的方程为：化简得：…………………………………………12分所以∴≥…………………15分7.已知曲线C:y=x2(x＞0),过C上的点A1（1，1）作曲线C的切线l1交x轴

6、于点B1，再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平行线交曲线C于交A3，…，依次作下去，记点An的横坐标为an(n∈N*).（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：anSn≤1;8（3）求证：≤【解析】(1)∵曲线C在点An(an,a∴切线ln的方程是y-a由于点Bn的横坐标等于点An+1的横坐标an+1，所以，令y=0，得an+1＝an。∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列.∴an=（2）∵

7、Sn==2(1-),∴anSn=4×(1-).令t=，则0＜t≤，∴anSn=4t(1-t)=-4(t-)2+1.∴当t=，即n=1时，-4(t-)2+1有最大值1，即anSn≤1.（3）∵Sk≥ak,k∈N*，∴akSk≥a≤∵数列{}是首项为1，公比为4的等比数列.∴≤=8、（06山东卷）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…(1)证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝

8、的通项；(3)记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.【解析】（Ⅰ）由已知，，两边取对数得，即8是公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知（*）=由（*）式得（Ⅲ）又又.9．（本题满分16分）由原点O向曲线引切线，切于不同于O的点P1（x1，y1），再由点P1引此曲线的切线，切于不同于P1的点P2（x2，y2），如此继续下去，得到点列{Pn(xn，yn)}.（I）求；（Ⅱ）求证：数列为等比数列；（Ⅲ）令，为数列{}的前项的和，若对恒成立，求的取值范围.【解