数列与解析几何综合—点列问题

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1、专题:数列与解析几何综合——点列问1.如图,直线与相交于点P.直线l1与x轴交于点P1,过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1,过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2,过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2,…,这样一直作下去,可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2,…,点Pn(n=1,2,…)的横坐标构成数列(Ⅰ)证明;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)比较的大小.【解析】(Ⅰ)证明:设点Pn的坐标是,由已知条件得点Qn、Pn+1的坐标分别是:由Pn+1在直线l1上,得所以即(Ⅱ)解:由题设知又由(Ⅰ)

2、知,所以数列是首项为公比为的等比数列.从而(Ⅲ)解:由得点P的坐标为(1,1).所以(i)当时,>1+9=10.而此时(ii)当时,<1+9=10.而此时EX:已知点都在直线上,为直线与轴的交点,数列成等差数列,公差为1. ()8(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前项和.(3)求证:……+(2,)【解析】(1)4分(2)令==14则它的前项的和=13,=4分(3)2分4分2、如图,曲线上的点与x轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形设正三角形的边长为,n∈N﹡(记为),.(1)求的值;P1P

3、2P3Q1Q2O(2)求数列{}的通项公式;(3)求证:当时,.【解析】(1)由条件可得,代入曲线得;(2)∴点代入曲线并整理得,于是当时,即8又当,故所以数列{}是首项为、公差为的等差数列,;(3)由(2)得,当时,,欲证,只需证,即证,设,当时,f(n)递增.而当时,有成立.所以只需验证n=2时不等式成立.------13分事实上,.综上,原不等式成立.------------------------------------------14分3、已知曲线C:,:()。从上的点作轴的垂线,交于点

4、,再从点作轴的垂线,交于点,设。(I)求的坐标;(II)求数列的通项公式;(III)记数列的前项和为,求证:【解析】8(1)由题意得知,,(2),,点的坐标为在曲线上,,又在曲线上,(III)……+……7分==……………………………………11分,6.(本小题满分15分,其中第一小问4分,第二小问6分,第三小问5分)过曲线上的点作曲线C的切线l1与曲线C交于,过点P2作曲线C的切线l2与曲线C交于点,依此类推,可得到点列:,(1)求点P2、P3的坐标.8(2)求数列的通项公式.(3)记点到直线的距离为

5、,求证:.【解析】(1)…………………………………………4分(2)曲线C上点处的切线的斜率为,故得到的方程为……………………………………6分联立方程消去y得:化简得:所以:………………8分由得到点Pn的坐标由就得到点的坐标所以:故数列为首项为1,公比为-2的等比数列所以:…………………………………………10分(3)由(2)知:所以直线的方程为:化简得:…………………………………………12分所以∴≥…………………15分7.已知曲线C:y=x2(x>0),过C上的点A1(1,1)作曲线C的切线l1交x轴

6、于点B1,再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2,再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2,再过点B2作y轴的平行线交曲线C于交A3,…,依次作下去,记点An的横坐标为an(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求证:anSn≤1;8(3)求证:≤【解析】(1)∵曲线C在点An(an,a∴切线ln的方程是y-a由于点Bn的横坐标等于点An+1的横坐标an+1,所以,令y=0,得an+1=an。∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列.∴an=(2)∵

7、Sn==2(1-),∴anSn=4×(1-).令t=,则0<t≤,∴anSn=4t(1-t)=-4(t-)2+1.∴当t=,即n=1时,-4(t-)2+1有最大值1,即anSn≤1.(3)∵Sk≥ak,k∈N*,∴akSk≥a≤∵数列{}是首项为1,公比为4的等比数列.∴≤=8、(06山东卷)已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中=1,2,3,…(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}

8、的通项;(3)记bn=,求{bn}数列的前项和Sn,并证明Sn+=1.【解析】(Ⅰ)由已知,,两边取对数得,即8是公比为2的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知(*)=由(*)式得(Ⅲ)又又.9.(本题满分16分)由原点O向曲线引切线,切于不同于O的点P1(x1,y1),再由点P1引此曲线的切线,切于不同于P1的点P2(x2,y2),如此继续下去,得到点列{Pn(xn,yn)}.(I)求;(Ⅱ)求证:数列为等比数列;(Ⅲ)令,为数列{}的前项的和,若对恒成立,求的取值范围.【解

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