台湾数学竞赛@

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1、全國高中數學聯賽模擬試題（八）（選題人：李潛）第一試一、選擇題：（每小題6分，共36分）1、設logab是一個整數，且，給出下列四個結論①；②logab+logba=0；③0＜a＜b＜1；④ab-1=0．其中正確結論的個數是（A）1（B）2（C）3（D）42、若△ABC的三邊長a、b、c滿足，則它的最大內角度數是（A）150°（B）120°（C）90°（D）60°3、定長為l（）的線段AB的兩端點都在雙曲線（a＞0，b＞0），則AB中點M的橫坐標的最小值為（A）（B）（C）（D）4、在複數平面上，曲線z4+z=1與圓

2、z

3、=1的交點個數為（A）0（B）1（C）2（D）

4、35、設E={(x,y)

5、0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)

6、x≤10,y≥2,y≤x-4}是直角坐標平面上的兩個點集，則集合G=所形成的區域面積是（A）6（B）2p（C）6.5（D）76、正方形紙片ABCD，沿對角線AC對折，使D在面ABC外，這時DB與面ABC所成的角一定不等於（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°第4頁共4頁二、填空題：（每小題9分，共54分）1、已知，則的值等於．2、=．3、在直角△ABC中，AB＝AC，以C為一個焦點作一個橢圓，使這個橢圓的另一個焦點在AB內，且橢圓過A、B點，則這個橢圓的離心率等於．4、從{1,2,3,…,

7、20}中選出三個數，使得沒有兩個數相鄰，有種不同的選法．5、設a、b均為正數，且存在複數z滿足，則ab的最大值等於．6、使不等式對惟一的一個整數k成立的最大正整數n為．三、（20分）已知實數x、y滿足x2+y2≤5．求f(x,y)=3

8、x+y

9、+

10、4y+9

11、+

12、7y-3x-18

13、的最大值與最小值．四、（20分）經過點M(2,-1)作抛物線y2=x的四條弦PiQi(i=1,2,3,4)，且P1、P2、P3、P4四點的縱坐標依次成等差數列．求證：．五、（20分）n為正整數，r＞0為實數．證明：方程xn+1+rxn-rn+1=0沒有模為r的複數根．第4頁共4頁第二試一、（5

14、0分）設C(I)是以△ABC的內心I為圓心的一個圓，點D、E、F分別是從I出發垂直于邊BC、CA和AB的直線C(I)的交點．求證：AD、BE和CF三線共點．二、（50分）非負實數x、y、z滿足x2+y2+z2=1．求證：1≤≤．三、（50分）對由n個A，n個B和n個C排成的行，在其下面重新定義一行（比上面一行少一個字母），若其頭上的兩個字母不同，則在該位置寫上第三個字母；若相同，則寫上該字母．對新得到的行重複上面的操作，直到變為一個字母為止．下面給出了n=2的一個例子．ACBCBABAAACCAABBACCBA求所有的正整數n，使得對任意的初始排列，經上述操作後，所得

15、的大三角形的三個頂點上的字母要麼全相同，要麼兩兩不同．第4頁共4頁參考答案第一試一、選擇題：題號123456答案ABDADD二、填空題：1、；2、；3、；4、816；5、；6、112．三、最大值，最小值．四、證略．五、證略．第二試一、證略；二、證略．三、n=1．第4頁共4頁