07年台湾数学能力竞赛决赛试卷

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1、2007年台湾数学能力竞赛决赛笔试一1、试求使为整数的正整数解．2、为一整系数多项式，a、b为两相异整数，，，…，，，，…，，若、，且，，试证：当时，．3、锐角，上有一点D，上有一点E，上有一点F，试证：存在唯一一组解，使，，．笔试二1、给定与其外接圆，令P为劣弧上之一点，异于B、C，连交于Q，试求的最小值．（）2、有一正整数列1，2，3，…，2n－1、2n，现从中挑出n个数，从大到小排列依次为a1，a2，…，an，另n个数从小到大排列依次为b1，b2，…，bn．求之所有可能的值．3、a、b、c为正实数，试证明：．2007年台湾数学能力竞赛决赛笔

2、试一详解1、解：引理：，只要不为有理数即可，设为一有理数，但皆不为有理数．因则唯一有理数，矛盾．故，令，，，为正整数，则或2或3，故共有8组解2、解：设，亦为整系数多项式；故或…(1)又故或…(2)欲使(1)(2)同时成立，唯有，故．3、解：作三高之垂足，显然成立．设三垂足分别为D0，E0，F0，若有一D异于D0合条件，欲使，则，于是，同理于是，若D在D0左侧，则E，F也在左侧，与相交，故不平行；，不符合要求．若在右侧亦然，故D0，E0，F0为唯一．笔试一详解1、解：设，A、B、P、C四点共圆由正弦定理得：得：．2、解：令n+1、n+2、n+3、

3、…、2n为大数，1、2、3、…、n为小数．设中必也有n－k个小数，则中必有n－k个大数，k个小数，其中令：a1，a2，…，ak，bk+1，bk+2，…，bn为大数，b1，b2，…，bk，ak+1，ak+2，…，an为小数．3、解：令当时，不等式恒成立，故，同理：，；则．