《曲线积分》PPT课件

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1、学习重点理解曲线积分的定义掌握计算曲线积分的方法理解格林公式第四节曲线积分上页下页返回结束一、第一类曲线积分实例:曲线形构件的质量匀质之质量分割求和取极限近似值精确值1.第一类曲线积分的概念上页下页返回结束定义上页下页返回结束被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量上页下页返回结束存在条件：推广上页下页返回结束注意：上页下页返回结束性质上页下页返回结束2.第一类曲线积分的计算定理上页下页返回结束注意:特殊情形上页下页返回结束推广:上页下页返回结束例1解上页下页返回结束例2解例3解上页下页返回结束例4解由对称性,知上页下页返回结束几何与物

2、理意义上页下页返回结束上页下页返回结束二、第二类曲线积分实例:变力沿曲线所作的功常力所作的功分割1.第二类曲线积分的概念上页下页返回结束求和取极限近似值精确值上页下页返回结束1.定义上页下页返回结束类似地定义上页下页返回结束2.存在条件：3.组合形式上页下页返回结束4.推广上页下页返回结束5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.上页下页返回结束2.第二类曲线积分的计算定理上页下页返回结束特殊情形上页下页返回结束上页下页返回结束例1解上页下页返回结束上页下页返回结束例2解上页下页返回结束问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同

3、积分结果不同.上页下页返回结束例3解上页下页返回结束上页下页返回结束问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.上页下页返回结束3.第一类与第二类曲线积分的关系其中（可以推广到空间曲线上）上页下页返回结束可用向量表示有向曲线元；上页下页返回结束三、格林公式平面曲线积分与路径无关的条件设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD上页下页返回结束1.格林(Green)公式定理1上页下页返回结束边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在

4、他的左边.上页下页返回结束证明(1)yxoabDcdABCE上页下页返回结束同理可证yxodDcCE上页下页返回结束证明(2)D两式相加得上页下页返回结束上页下页返回结束GDFCEAB证明(3)由(2)知上页下页返回结束上页下页返回结束xyoL1.简化曲线积分简单应用AB上页下页返回结束上页下页返回结束2.简化二重积分xyo上页下页返回结束上页下页返回结束解上页下页返回结束xyoLyxo上页下页返回结束xyo(注意格林公式的条件)上页下页返回结束3.计算平面面积上页下页返回结束解上页下页返回结束上页下页返回结束Gyxo2.曲线积分与路

5、径无关的条件BA如果在区域G内有上页下页返回结束定理2上页下页返回结束两条件缺一不可有关定理的说明：上页下页返回结束定理3上页下页返回结束上页下页返回结束解上页下页返回结束解上页下页返回结束上页下页返回结束1.对弧长曲线积分的概念2.对弧长曲线积分的计算3.对弧长曲线积分的应用上页下页返回结束小结4．对坐标曲线积分的概念5．对坐标曲线积分的计算6．两类曲线积分之间的联系上页下页返回结束7.连通区域的概念;8.二重积分与曲线积分的关系3.格林公式的应用.——格林公式;上页下页返回结束与路径无关的四个等价命题条件等价命题上页下页返回结束对弧

6、长的曲线积分的定义中的符号可能为负吗？思考上页下页返回结束思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度.上页下页返回结束