《曲线积分习题》PPT课件

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1、曲线积分习题课一、主要内容曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义性质计算公式两者关系曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义实质分、粗、和、精分、粗、和、精背景曲线形构件的质量变力沿曲线作功性质线性、可加、无方向可加、有方向计算一代、二换、三定限一代、二换、三定限联系与路径无关的四个等价命题条件等价命题（二）各种积分之间的联系曲线积分定积分计算重积分Green公式计算曲面积分Guass公式计算Stokes公式积分概念的联系定积分二重积分曲线积分三重积分曲线积分曲面积分计算上的联系其中理论上的联系1

2、.定积分与不定积分的联系牛顿--莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系格林公式3.三重积分与曲面积分的联系高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式（三）场论初步梯度通量散度环流量旋度关于对称性对弧长的曲线积分与方向无关，可以利用对称性简化计算设L关于x(y)轴对称若f(x,y)关于y(x)是奇函数即则若f(x,y)关于y(x)是偶函数即则对坐标的曲线积分与方向有关，所以在考虑对称性时既要考虑被积函数与曲线的对称性，还要考虑曲线的方向，因此直接应用比较困难，一般是先转化为对弧长的曲线积分，然后再考虑

3、使用对称性。其中L1是位于对称轴一侧的部分关于第二类曲线积分的计算①若曲线封闭，首先考虑使用Green公式②若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，然后再使用Green公式此时应注意两点：⑴辅助线上的积分应容易计算，⑵辅助线的方向与曲线的方向相容，③化成第一类曲线积分计算④按第二类曲线积分的计算公式直接计算二、典型例题例1计算所围成的在第三象限的扇形的整个边界解如图L1L1L2L2L3L3L=L1+L2+L3解解(如下图)其中L为①不包围也不通过原点的任意闭曲线②以原点为中心的正向单位圆周③包围原点的任意

4、正向闭曲线解①若则由Green公式例4计算若则以原点为心，作一半径充分小的正向圆周记L和所为成的区域为D1，由Green公式②L③在原点不连续，记L和所为成的区域为D1，由Green公式以原点为心，作一半径充分小的正向圆周由于L所围区域包含原点解令得由使得在不经过的值的区域上与路径无关并求当L为从A（1，1）到B（0，2）时的值。例5确定参数A(1,1)B(0,2)ACB如选路径C(1,2)则积分结果不易求出DB但如选路径AD(0,1)则