有限元的性质和收敛性

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1、有限元的性质和收敛性一、有限元解的收敛准则有限单元法作为求解数学微分方程的一种数值方法可以认为是里兹法的一种特殊形式，不同在于有限单元法的试探函数是定义于单元（子域）而不是全域。因此有限元解的收敛性可以与里兹法的收敛性对比进行讨论。里兹法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，如果试探函数满足完备性和连续性要求，当试探函数的项数n--->∞时，则Ritz法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。现在要研究什么是有限元解的收敛性提法？收敛的条件又是什么？在有限单元法中，场函数的总体泛函是由单元泛函集成的。如果采用完

2、全多项式作为单元的插值函数（即试探函数），则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和真正解一致。但是实际上有限元的试探函数只能取有限项多项式，因此有限元解只能是真正解的一个近似解答。有限元解的收敛准则需要回答的是，在什么条件下当单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真正解。下面仍以含有一个待求的标量场函数为例，微分方程是：A(φ)=L(φ)+b=0(1.1)相应的泛函是：（1.2）假定泛函∏中包含φ和它的直至m阶的各阶导数，若m阶导数是非零的，则近似函数至少必须是m次多项式。若取p次完全多项式为试探函数，则必须满足p≥m，这时及其

3、各阶导数在一个单元内的表达式如下：......（1.３）由上式可见，由于是p次完全多项式，所以它的直至m阶导数的表达式中都包含有常数项。但单元尺寸趋近于零时，在每一单元内及其直至m阶导数将趋近于它的精确值，即趋近于常数。因此，每一个单元的泛函有可能趋于它的精确值。如果试探函数还满足连续性要求，那么整个系统的泛函将趋近于它的精确值。有限元解就趋近于精确解，也就是说解是收敛的。从上述讨论可以得到下列收敛准则：准则1完备性要求。如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全

4、多项式。或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项。单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。1至于连续性的要求，当试探函数是多项式的情况下，单元内部函数的连续性显然是满足的，如试探函数是m次多项式，则单元内部满足Cm-1连续性要求。因此需要特别注意的是单元交界面上的连续性，这就提出另外一个收敛准则。准则2协调性要求。如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有Cm-1连续性，即在相邻单元的交界面上应有函数直至m-1阶的连续导数。当单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是协调的。简

5、单的说，当选取的单元既完备又协调时，有限元解是收敛的，即但单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真正解。需要补充指出的是：前面所述有限元解收敛于数学微分方程精确解的进一步含义。因为数学微分方程的精确解往往不一定能够得到，甚至问题的数学微分方程并未建立（例如对于复杂型式的结构）。同时有限元解中通常包含多种误差（例如计算机的截断误差和舍入误差），因此有限元解收敛于精确解，在更严格意义上说是问题的有限元解的离散误差趋于零。二、收敛准则的物理意义为了从物理上加深对收敛准则的理解，我们以平面问题为例加以说明。在平面问题中，泛函∏p中出现的是位

6、移u和v的一次导数，即εx，εy，γxy，因此m=1。收敛准则1要求插值函数或者位移函数至少是x，y的一次完全多项式。我们知道位移及其一阶导数为常数的项是代表与单元的刚体位移和常应变状态相应的位移模式。实际分析中，各单元的变形往往包含着刚体位移。因而当单元尺寸趋于无穷小时，各单元的应变也总是趋于常应变。所以完备性的要求由插值函数所构成的有限元解必须能反映单元的刚体位移和常应变状态。若不能满足上述要求，那么赋予结点以刚体位移（零应变）或者常应变的位移值时，在单元内部将产生非零或非常值的应变，这样有限元解将不可能收敛于真正解。应

7、该指出，在Bazeley等人开始提出上述收敛准则时，是要求在单元尺寸趋于零的极限情况下满足完备性收敛准则。如果将此收敛准则用于有限尺寸的单元，将使解的精度得到改进。对于平面问题，协调性要求是C0连续性，即要求位移函数u，v的零阶导数，也就是位移函数自身在单元交界面上是连续的。如果在单元交界面上位移不连续，表现为当结构变形时将在相邻单元间产生缝隙或重叠，这意味着将引起无限大的应变，这时必然会发生交界面上的附加应变能补充到系统的应变能中去，但是我们在建立泛函∏p时，没有考虑这种情况，而只考虑了产生各个单元内部的应变能，因此，倘若

8、边界上位移不连续，有限元解就不可能收敛于真正解。可以看到最简单的3结点三角形单元的插值函数既满足完备性要求，也满足协调性要求，因此采用这种单元，解是收敛的。应当指出，对于二，三维弹性力学问题，泛函中出现的导数是一阶(m=1)，对近似的位移函数的连续性要求仅是C0连续性，这种只要求函数自身在